2025版新教材高中数学第二章直线和圆的方程2.2直线的两点式方程学案新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

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直线的两点式方程

课标解读

课标要求

素养要求

1.驾驭直线的两点式方程和截距式方程.

2.会选择适当的方程形式求直线的方程.

3.能用直线的两点式方程与截距式方程解决有关问题.

1.数学运算——会用直线的两点式方程与截距式方程求直线方程.

2.直观想象——会利用图形理解截距的几何意义.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

1.两点式的定义：

经过两点P1(x1,

2.截距式的定义：

直线l：xa+yb=1(a≠0,b≠0)，我们把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b.方程xa+yb=1由直线

自主思索

1.两点式方程与P1(x1,

提示无关.

2.若截距相等，则xa

提示不肯定成立，截距相等有两种状况.若a=b=0，则直线的方程为y=kx，故xa+yb=1不成立；若a=b≠0

名师点睛

1.在用两点式求直线的方程时，往往把分式形式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1(x1≠x2,

2.直线的截距式方程是直线的两点式方程的特别状况，由直线的截距式方程可以干脆知道直线在x轴和y轴上的截距，所以在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时，运用截距式特别便利.

互动探究·关键实力

探究点一利用两点式求直线的方程

精讲精练

例已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)、B(-2,6)、C(-8,0).

（1）求AB所在直线的方程；

（2）求AC边上的中线BD所在直线的方程；

（3）求经过AB和AC的中点的直线的方程.

答案：（1）由A(0,4)，B(-2,6)可得AB所在直线的两点式方程为y-46-4=x-0

（2）设AC边上的中点为D(x0,y0)，由中点坐标公式可得x0

（3）易知AB的中点的坐标为(-1,5),AC的中点的坐标为(-4,2)，

所以所求直线的方程为y-25-2

即x-y+6=0.

解题感悟

当已知两点的坐标求过这两点的直线的方程时，首先要推断是否满意两点式方程的适用条件.若满意，则考虑用两点式求方程.

迁移应用

求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程.

答案：①当m=2时，直线l的方程为x=2；

②当m≠2时，直线l的方程为y-13-1=x-2

∵当m=2时，x=2满意上式，

∴直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.

探究点二求直线的截距式方程

精讲精练

例（2024四川西昌高二期中）已知直线l过点(1,2)，且在y轴上的截距为在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程是()

A.2x-y=0

B.2x+y-4=0

C.2x-y=0或2x+y-4=0

D.2x-y=0或x+2y-2=0

思路分析设直线l在x轴上的截距为a，则直线l在y轴上的截距为2a，分状况探讨，利用直线的截距式方程可得结果.

答案：C

解析：设直线l在x轴上的截距为a，则直线l在y轴上的截距为2a.

当a=0时，直线l经过原点，其方程为y=2x，即2x-y=0；

当a≠0时，设直线l的方程为xa

因为直线l过点(1,2)，

所以代入(1,2)得1a+2

所以直线l的方程为x2+y

综上，直线l的方程为2x-y=0或2x+y-4=0，故选C.

变式将本例条件变为在两坐标轴上的截距相等，其他条件不变，如何求解？

答案：当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，代入(1,2)得k=2，

此时直线l的方程为y=2x；

当直线l在两坐标轴上的截距不为0时，

设直线l的方程为xa+y

即x+y-3=0.

综上，所求直线的方程为y=2x或x+y-3=0.

解题感悟

用截距式方程时须要留意以下三点：（1）若问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.（2）选用截距式方程时，必需首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直.（3）要留意截距式方程的逆向应用.

迁移应用

求过点(4,-3)且在两坐标轴上的截距的肯定值相等的直线l的方程.

答案：设直线l在x轴，y轴上的截距分别为a,b.

①当a≠0,b≠0时，

设l的方程为xa

∵点(4,-3)在直线l上，

∴4

若a=b，则a=b=1，

直线l的方程为x+y-1=0.

若a=-b，则a=7,b=-7，

此时直线l的方程为x-y-7=0.

②当a=b=0时，直线过原点，设直线l的方程为y=kx，

∵直线过点(4,-3)，

∴代入(4,-3)得k=-3

即直线l的方程为3x+4y=0.

综上，所求直线的方程为x+y