2025版新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程加练课5点直线与椭圆的位置关系学案新人教A版选择性必修第.docxVIP

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加练课5点、直线与椭圆的位置关系

学习目标

1.驾驭点、直线与椭圆的位置关系.

2.驾驭求弦长的方法.

3.驾驭中点弦问题.

自主检测·必备学问

一、概念辨析，推断正误

1.已知点(3，2)在椭圆x2m2

2.椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(√)

3.直线y=kx+1与椭圆x2

4.直线y=kx+m与椭圆交于A(x1,y1

二、夯实基础，自我检测

5.若直线y=x+2与椭圆x2m+

A.(1,+∞)B.(1,3)∪(3,+∞)

C.(3,+∞)D.(0,3)∪(3,+∞)

答案：B

6.设直线y=kx(k≠0)与椭圆x24+y23=1相交于A，B两点，分别过A

A.±32

C.±12

答案：A

7.已知椭圆y2a2

答案：y

解析：因为椭圆y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)的右顶点为A(1,0)，所以b=1

8.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0)，F2(1,0)，且椭圆

（1）求椭圆C的方程;

（2）过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点（点A位于x轴上方），若AF1=2F

答案：（1）由2a=∣E

解得a=2,

所以椭圆C的方程为x2

（2）由题意得直线l的方程为y=k(x+1)(k＞0)，联立得y=k(x+1),

整理得(3

其中Δ=144

设A(x1,y1)，

又AF1=2F1B，所以y1

又k＞0，所以k=5

互动探究·关键实力

探究点一点与椭圆的位置关系

精讲精练

例（1）（2024吉林长春高二月考）点P(4?cosα,23

A.点P在椭圆C上

B.点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关

C.点P在椭圆C内

D.点P在椭圆C外

（2）若点A(a,1)在椭圆x24+

答案：（1）D（2）-

解析：（1）把点P(4?cosα,23sinα)(α∈R)

（2）由题意知a2

解得-2

解题感悟

推断点与椭圆的位置关系，可将点的坐标代入椭圆方程进行推断;依据点与椭圆的位置关系求参数的取值范围，可依据位置关系建立不等式求解.

迁移应用

（2024宁夏银川二中高二月考）若点A(1,m)在椭圆C:x24

A.(-

B.(-

C.(-∞,-

D.(-

答案：B

解析：由已知得124+

探究点二直线与椭圆的位置关系

精讲精练

类型1直线与椭圆位置关系的推断

例1已知椭圆C：4x2+y2

（1）当m为何值时，直线l与椭圆C有公共点？

（2）若直线l与椭圆C交于P、Q两点，且OP⊥OQ，O为坐标原点，求直线l的方程.

答案：（1）联立直线l的方程与椭圆C的方程得y=x+m,4x2+y2=1,消去y

则Δ=4?m2-20(

因此实数m的取值范围是[-5

（2）设点P(x1,y1

∵OP⊥OQ，∴OP?OQ=x1x

解题感悟

推断直线与椭圆的位置关系时，可通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：Δ0?直线与椭圆相交；Δ=0?直线与椭圆相切，则：△0?直线与椭圆相离，留意方程组的解与交点个数之间的等价关系.

类型2求弦长

例2（2024黑龙江高二学业水平考试）已知椭圆C：x2a

（1）求椭圆C的方程;

（2）直线y=x+m与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的最大值.

答案：（1）由题意可得2a=6,ca=23,

∴椭圆C的方程为x2

（2）设A(x1

由

由Δ=(18m)2-4×14×(9?

∴x1

∴|AB|=1+12(x

解题感悟

直线与椭圆相交时弦长的求法：①干脆利用两点间的距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可先干脆求出交点坐标，再用两点间的距离公式求弦长.②利用弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于A(x1,y1)，

迁移应用

（2024天津二十五中高二期中）已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点坐标为(0，1)，离心率e=255，过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆于

（1）求椭圆的标准方程;

（2）当直线l的斜率为12时，求|AB|

答案：（1）依题意设椭圆的标准方程为x2a2+y2b

所以椭圆的标准方程为x2

（2）由（1）知F(2,0)，则直线l:y=1

联立得y=

消去y后整理得9x

设A(x1,y1)

所以|AB|=1+(

探究点三中点弦问题

精讲精练

例已知椭圆C:x2a

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且线段PQ的中点为M(m,12)，直线l是线段PQ的垂直平分线，若l与x

答案：（1）因为椭圆的右焦点为(1，0)，

所以c=1，

又椭圆的离心率e=ca=2

所