3.1 函数的概念及其表示（知识解题+达标测试）（解析版）.docx

3.1函数的概念及其表示

【考点1：区间的表示】

【考点2：函数的判断】

【考点3：函数的定义域】

【考点4：函数表示方法】

【考点5：两个函数相等】

【考点6：函数值】

【考点7：分段函数】

知识点1函数的概念

1．函数的定义

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数.记作：，．

2函数的三要素：（1）对应关系：，．（2）定义域：x的取值范围A

（3）值域.：与x的值相对应函数值的集合，

【注意】：

A、B集合的非空性；

对应关系的存在性、唯一性、确定性；

A中元素的无剩余性；

（4）B中元素的可剩余性。

3．区间的概念

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示

区间表示：

；；；

；.

【注意】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间．

(2)对于二次项系数是负数(即a0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解．

知识点2函数的表示法

1.函数的三种表示方法：

（1）解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系优点：简明，给自变量求函数值.

（2）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.

（3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.

2.分段函数

概念：一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有不同的对应关系的函数

定义域值域：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集

知识点3函数定义域的求法

确定函数定义域的原则

①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑（1）分母不为零，（2）偶次根号的被开方数、式大于或等于零，（3）零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

【注意】：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

【考点1：区间的表示】

【典例1】已知集合A={x-2x≤1},B={x-1x≤2}，则A∪B=

A．(-2,2] B．-2,-1∪(-1，2] C．(-1,1] D．

【答案】A

【分析】利用并集运算直接求解即可.

【详解】因为A={x-2x≤1}=-2,1

所以A∪B=(-2,2].

故选：A

【变式1-1】区间0,2等于（????）

A．0,2 B．0,2

C．x|0x≤2 D．x|0≤x≤2

【答案】C

【分析】根据区间的定义判断即可.

【详解】根据区间的定义可知0,2=

而x|0≤x≤2=

故选：C

【变式1-2】集合x2x+1≥5表示成区间是（????

A．2,+∞ B．2,+∞ C．-∞

【答案】B

【分析】解不等式可得答案.

【详解】由2x+1≥5得x≥2，表示成区间是2,+∞

故选：B．

【变式1-3】已知全集U=R，集合P=x∣x≤1，则?U

A．-∞,-1 B．1,+∞ C．-1,1

【答案】B

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】由P=x∣x≤1，得?UP=

故选：B.

【考点2：函数的判断】

【典例2】在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是（?????）

A．B．C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的定义一一判定选项即可.

【详解】根据函数的定义可知，E中的每一个元素在F中都有唯一的元素与之对应，

显然A、B、C符合题意，

而D选项中，E中的元素b在F中有两个元素对应，不符合函数的定义.

故选：D

【变式2-1】下列对应关系中是A到B的函数的是（???）

A．A=[0,1]，B=[0,1]，x

B．A=1,2,3,4，B=

??

C．A=R，B=R，f

D．A=Z，B=Z，f

【答案】B

【分析】利用函数的定义求解即可.

【详解】对于A，x2+y2=1，一个x

对于B，集合A中每一个x在集合B中都有唯一对应的y，符合函数的定义，故B正确；

对于C，y=1x-2中，x≠2，而A=R，故集合A中的元素2在集合B中没有对应的y

对于D，y=2x-1，所以x≥12，集合A=Z，故集合A中有的元素（比如0）在集合B中没有对应的y

故选：B

【变式2-2】下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（????）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据函数的定义即可判断求解．

【详解】函数的定义反映在图象上简单的判断方法是：作垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．

对于A，作垂直x