同步练习-函数单调性和奇偶性(教师版).docVIP

函数单调性和奇偶性----同步练习

一、基础知识（必记）

1．函数的奇偶性

2.奇偶函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性(填“相同”、“相反”)．

(2)在公共定义域内，

①两个奇函数的和函数是，两个奇函数的积函数是．

②两个偶函数的和函数、积函数是．

③一个奇函数，一个偶函数的积函数是．

3．一些重要类型的奇偶函数

(1)函数f(x)＝ax＋a－x为函数，函数f(x)＝ax－a－x为函数；

(2)函数f(x)＝eq\f(ax－a－x,ax＋a－x)＝eq\f(a2x－1,a2x＋1)(a0且a≠1)为函数；

(3)函数f(x)＝logaeq\f(1－x,1＋x)为函数；

(4)函数f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋1))为函数．

二、常见题型

（一）判断函数的奇偶性．

1、判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)＝eq\r(3－x2)＋eq\r(x2－3)(2)f(x)＝(x＋1)eq\r(\f(1－x,1＋x))；

(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).(4)f(x)＝|x－2|＋a；

(5)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x，?x0?,－x2＋x，?x0?))

2、判断函数的奇偶性为：非奇非偶．

3、若定义在上的函数满足：对任意的有，则下列说法一定正确的是（C）

A．为奇函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．为偶函数

4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是()

A．y＝－log2x(x0) B．y＝x3＋x(x∈R)

C．y＝3x(x∈R) D．y＝－eq\f(1,x)(x∈R，x≠0)

（二）奇偶性的证明

1、判断函数

(1)判断f(x)的奇偶性并加以证明；(2)证明f(x)0.

3.已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，求证：（1）函数是奇函数。（2）函数是上的减函数；

4.已知函数f(x)是定义在（0，∞）的增函数，且f(xy)=f(x)+f(y)

（1）证明：f()=f(x)-f(y)（2）已知f(3)=1，且f(a)＞f(a-1)+2，求a的取值范围。

解析：（1）提示：f()+f(y)=f(.y)=f(x)

（三）奇偶性的应用

1．设f（x）为定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，且f（x）在[0，+∞）上为增函数，则f（﹣2），f（﹣π），f（3）的大小顺序是

2．如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么它在[﹣7，﹣3]上的增（填“增”或“减”）函数，最大（填“大”或“小”）值为﹣5．

4．已知f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f（a﹣2）＜f（4﹣a2），求a的取值范围（）．

5．若f（x）是偶函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）=x﹣1，则f（x﹣1）＜0的解集是

（0，2）

6．若f（x）是奇函数，且在区间（﹣∞，0）上是单调增函数，又f（2）=0，则xf（x）＜0的解集为

（﹣2，0）∪（0，2）．

7．已知奇函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，如果f（1﹣a）+f（1﹣a2）＜0，则实数a的取值范围是

1＜a＜﹒

8．已知函数y=f（x），当x＞1时，函数单调递减，又f（x）=f（2﹣x），试比较f（0），f（﹣2），f（π）的大小顺序

f（﹣2）＜f（π）＜f（0）．

9(2010·江苏)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝________.

10、设a，b∈R，且a≠2，若定义在区间(－b，b)内的函数f(x)＝lgeq\f(1＋ax,1＋2x)是奇函数，则a＋b的取值范围()

. C．(－2，－1] D．(－2，－1)

11．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(2)＝0，则eq\f(f?x?－f?－x?,x)0的解集为()

A．(－2,0)∪(0,2) B．(－∞，－2)∪(0,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(2，＋∞)

答案：A

12．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(