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【高考数学】专题2-函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题（原卷版）

专题2函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点,函数的零点个数问题、隐零点及零点赋值问题是近年高考的热点

及难点，特别是隐零点及零点赋值经常成为导数压轴的法宝。

二、解题秘籍

（一）确定函数零点个数

1．研究函数零点的技巧

用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将

零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题，可利用函数的值域

或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；

从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求

与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.

2.判断函数零点个数的常用方法

(1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与ｘ轴交点的个数

问题。

（２）分离出参数，转化为a＝g（x）,根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及

最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线ｙ=a与函数y＝g（x）图象交点的个数问题．只需要用a

与函数g(x）的极值和最值进行比较即可。

３．处理函数y=f(x）与y=g(ｘ）图像的交点问题的常用方法

（1)数形结合,即分别作出两函数的图像，观察交点情况;

(2）将函数交点问题转化为方程f（x)=g（x）根的个数问题,也通过构造函数y＝f(ｘ)-g（x),把交点个

数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况.

４。找点时若函数有多项有时可以通过恒等变形或放缩进行并项,有时有界函数可以放缩成常数，构造函

数时合理分离参数,避开分母为0的情况。

1232

fxxaxlnx2axx



【例１】(2０23届广东省罗定中学高三上学期调研）已知函数24，其中

0ae

.

fx

(1)求函数的单调区间;

fx

(2)讨论函数零点的个数;

fx0,fxxalnxxaxalnx1

【解析】（1）由题意知：定义域为，，

fx0

令，解得：x1a，x2e，又0ae，

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x0,ae,f¢x0xa,efx0

当时，()；当时，；

\fx0,ae,a,e

()的单调递增区间为，；单调递减区间为。

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