2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数3.2对数的运算学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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对数的运算

课标解读

课标要求

素养达标

1.驾驭对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.

2.能用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数.

1数学运算－能利用对数的运算性质进行对数式的化简、求值.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一对数的运算性质自主思索

假如a0，且a≠1，M0，N0，那么

（1）loga(MN)=①

（2）logaMN

（3）logaMn

要点二对数换底公式

logab=logcblogc

自主思索

1.log2

答案：提示不正确.

2.求式子log9

答案：提示原式=lg

名师点睛

1.换底公式的应用技巧

（1）换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式,将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算.要留意换底公式的正用、逆用及变形应用.

（2）题目中有指数式和对数式时,要留意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式.

2.解对数综合应用问题的3个要点

（1）统一化：所求为对数式,条件转为对数式.

（2）选底数：针对详细问题,选择恰当的底数.

（3）会结合：学会换底公式与对数运算性质结合运用．

3.性质aloga

（1）alogaN=N的作用在于能把

（2）logaab

互动探究·关键实力

探究点一对数运算性质的应用

精讲精练

例求下列各式的值：

（1）lg14-2?

（2）lg5

答案：（1）原式=

（2）原式=2?lg

解题感悟

1.对数式的化简、求值的求解方式一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，同时要留意各部分变形时要化到最简形式.

2.化简同底的对数常用的方法：

（1）“收”，将两对数的和（差）收成积（商）的对数.

（2）“拆”，将两对数的积（商）拆成和（差）的对数.

迁移应用

1.（多选）下列计算正确的有()

A.lg100=10B.

C.lg(lne

答案：B;C;D

2.计算下列各式的值：

（1）(lg

（2）lg3+

答案：（1）原式=(

=(

=(

=(lg

（2）原式=

=(1+

探究点二对数换底公式的应用

精讲精练

例求下列各式的值：

（1）log2

（2）log5

答案：（1）原式=

（2）原式=log

解题感悟

1.在化简带有对数的表达式时,若对数的底不同，则需利用换底公式.

2.常用的公式：logab?log

迁移应用

1.下列运算正确的是()

A.2?

B.log

C.lg

D.log

答案：D

2.求下列各式的值：

（1）log2

（2）(log

答案：（1）原式=lg

（2）原式=(

探究点三对数运算性质的综合应用

精讲精练

例（1）已知log189=a,18b=5

（2）若lg(x-y)+lg(x+2y)=

答案：（1）因为18b

所以log18

则log

=

（2）由题意得lg(x-y)+

所以(x-y)(x+2y)=2xy，

即x2

所以(x-2y)(x+y)=0，

所以xy

由题意得x＞y＞0,所以xy

所以xy

解题感悟

对数等式中含有字母参数时,要留意隐含条件，如例题中应有x-y＞0，x+2y＞0，x＞0，y＞0，由此可得xy0，得xy1，故xy＝-1应舍去.故当多个变量出现在同一个关系式中时,变量的取值范围会相互限制,因此应特殊留意变量之间的相关性.

迁移应用

1.

在不考虑空气阻力的状况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满意ev=(1+Mm)2000（e

答案：因为ev

所以v=2000×

≈2000×1.099=2198(m/s

故当燃料的质量M为火箭（除燃料外）的质量m的2倍时,火箭的最大速度为2198?m/s

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（多选）下列等式中不成立的是()

A.lne=1B.

C.lg(MN)=lg

答案：C;D

2.方程lgx+lg(x+3)=1

答案：2

解析：由lgx+

lg[x(x+3)]=

即x(x+3)=10，整理得x2

解得x=-5或x=2.∵x＞0，∴x=2.

3.已知lga，lgb是方程2x

答案：2

解析：由题意得，lga+lgb=2，lg

4.（2024吉林长春高一月考）计算下列各式的值：

（1）(16

（2）设3a=4

答案：（1）原式=[

（2）∵3a=4b

素养演练

数学运算——利用恒等转化思想求值

1.

已知2x=3y=

答案：令2x

则x=log2?k，

∴1x=logk

由1x+1y+1z=1，得logk

素养探究：利用指数式与对数式之间的互化进行化简求值的过程，体现了数学运算的核心素养.

迁移应