2025版新教材高中数学第五章三角函数加练课6三角恒等变换的综合应用学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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加练课6三角恒等变换的综合应用

学习目标

进一步驾驭三角函数公式,娴熟地进行三角恒等变换,进而求解相关问题.

自主检测·必备学问

一、概念辨析,推断正误

1.cos(

2.存在α,β∈R,使得sin

3.sin?

4.对随意α,β∈R

5.对于随意的角α,cos

二、夯实基础,自我检测

6.下列各式中,值为32

A.2?sin?

C.2?sin2

答案：B

解析：2?sin

cos2

2?sin

sin2

7.cos(α-

A.-12

C.-32

答案：B

解析：原式=

=cos

8.32

答案：2

9.12

答案：-

10.已知tan(π4

答案：-

解析：由已知得1+tanθ1-

所以sin

=2?

互动探究·关键实力

探究点一敏捷变角思想的应用

精讲精练

类型1和与差变换

例1已知0＜β＜π2＜α＜π,且

答案：-

解析：因为0＜β＜π

所以-π

所以cos(

sin(α-

所以cos

=cos

所以cos(α+β)=2?

解题感悟

用已知的角来表示未知的角,再利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及倍角公式绽开,进而解决此类问题.

拆角、拼角技巧：2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β；β=α+β2

类型2倍角与半角变换

例2已知函数f(x)=2?cos?2x+sin

答案：2,-1

解析：f(x)=2(2?cos

因为cos?x∈[-1,1]

所以当cos?x=±1时,f(x)

当cos?x=0时,f(x)

故f(x)的最大值和最小值分别为2,-1.

解题感悟

与半角和倍角有关的三角函数问题,主要是用二倍角公式的正用、逆用或变形用解决,特殊是二倍角的余弦公式.

迁移应用

1.已知锐角α,β满意cosα=25

答案：2

解析：因为α,β是锐角,所以0＜α＜π2,0＜β＜

因为sin(α-β)=-35

所以cos(α-β)=

因为cosα=25

所以sinβ=

2.已知函数f(x)=(sin?x-

答案：π

解析：f(x)=

=2?

=

=2

所以f(x)的最小正周期T=2?

探究点二整体换元思想的应用

精讲精练

例求函数f(x)=sin?x+cos

答案：设sin?x+

则t=

=2

所以t∈[-2

所以sin?x

则y=t+t

当t=-1,即sin?x+cos?x=-1

此时,由sin(x+π4)=-2

当t=2,即sin?x+cos

此时,由2sin

得x=2kπ

综上,当x=2kπ-π,k∈Z或x=2k

当x=2kπ+π4,k∈

解题感悟

在三角恒等变换中,有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参加计算和推理,这个“元”可以明确地设出来,要特殊留意新元的取值范围.

迁移应用

1.求函数f(x)=sin

答案：令sin?x-

则t=2sin(x-

又sin

所以y=t+1-t2=-(t-1

当t=-2时,f(x

综上,函数f(x)的值域为[-2

探究点三构建方程（组）思想的应用

精讲精练

例已知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=

（1）求tan?A

（2）设AB=3,求AB边上的高.

答案：（1）因为sin(A+B)=

所以sinAcosB+cosAsinB=

所以sinAcosB=25,

（2）因为π2

所以tan(A+B)=-

即tan?A+

将tan?A=2?

2?tan

解得tan?B=

所以tan?A=2?

设AB边上的高为CD,

则AB=AD+DB=CD

由AB=3,得CD=2+6

所以AB边上的高等于2+6

解题感悟

在三角恒等变换中,需将所求三角函数或一个代数式整体视为一个“元”,参加计算和推理,由已知条件化简,变形构造方程（组）,应用方程思想求解变量的值.

迁移应用

1.设当x=θ时,函数f(x)=sin?x-2?cos

答案：由题意得f(x)=

5(

设15

则y=5

因为x∈R,所以x-α∈R,所以

又因为x=θ时,f(x)取得最大值,

所以f(θ)=sin

又sin2

所以sinθ=15,

评价检测·素养提升

课堂检测

1.若θ∈[π4,

A.35B.

C.74D.

答案：D

解析：由θ∈[π4,

sinθ=

2.（2024吉林延边其次中学高一检测）已知锐角α,β满意cosα=35

A.3365B.

C.5665D.

答案：A

解析：因为α,β为锐角,cosα=

cos(α+β)=-

所以sinα=

所以cos

=-5

3.（2024山西朔州高一期末）已知α∈(0,π2),2?

A.15B.

C.33D.

答案：B

解析：由2?sin?2α=cos

因为a∈(0,π2

因此4?sinαcos

又sin2α+

解得sinα