2025版新教材高中数学第二章直线和圆的方程5.1直线与圆的位置关系学案新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

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直线与圆的位置关系

课标解读

课标要求

素养要求

1.能依据给定直线、圆的方程，推断直线与圆的位置关系.

2.能用直线和圆的方程解决一些简洁的数学问题与实际问题.

1.数学抽象——能够抽象出直线与圆的位置关系.

2.逻辑推理——能够通过推理推断直线与圆的位置关系.

3.数学建模——能够利用直线和圆的方程解决实际问题.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

直线与圆有三种位置关系：

（1）直线与圆相交，有①两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有②一个公共点；

（3）直线与圆相离，③没有公共点.

自主思索

1.在海天交于一线的天际，一轮明月渐渐升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，呈现着迷人的风采.这个过程中，若将月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，则月亮上升的过程中体现了直线与圆的几种位置关系？

提示三种，相交、相切和相离.

2.视察下图，图中直线l与圆是什么位置关系？有几个交点，切点与圆心的连线与l有什么位置关系？

提示题图中的直线l与圆相切.有且仅有一个交点，切点与圆心的连线与l垂直.

名师点睛

1.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2

位置关系

相交

相切

相离

公共点个数

两个

一个

零个

判定方法

几何法：设圆心到直线的距离d=

dr

d=r

dr

代数法：直线与圆的方程联立，消元得到一元二次方程及判别式Δ

Δ0

Δ=0

Δ0

2.圆的弦长的求法

（1）几何法，设直线的方程为y=kx+m，圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，圆的半径为

（2）代数法，设直线的方程为y=kx+m，圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，直线与圆相交于A(x1,y1),B(x

互动探究·关键实力

探究点一直线与圆位置关系的推断

精讲精练

例（2024黑龙江绥化青冈一中高二开学考）已知两条平行直线4x-2y+7=0，2x-y+1=0之间的距离等于坐标原点O到直线l：x-2y+m=0(m＞0)的距离的一半.

（1）求m的值；

（2）推断直线l与圆C：x2

解析：思路分析（1）依据两条平行直线的距离与点到直线的距离的关系，求出m的值.（2）先求出圆心到直线的距离d，再比较d、r的大小，即可求解.

答案：（1）将2x-y+1=0化为4x-2y+2=0，∴两条平行直线的距离为|7-2|4

又原点O到直线l：x-2y+m=0(m＞0)的距离为|m|5，由题意得|m|

∴m=±5，又m＞0,∴m=5.

（2）易知圆C：x2+(y-2)2=

∴圆心C到直线l的距离d=|-4+5|5=

∴直线l与圆C相切.

变式若本例改为直线l：x-2y+m=0与圆C：x2+(y-2)

答案：由题意知|0-4+m|12+(-2

解题感悟

推断直线与圆的位置关系的两种方法：（1）几何法：依据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来推断；（2）代数法：依据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来推断.

迁移应用

（2024浙江嘉兴七校高二期中）已知圆C的方程为x2

（1）求D,E,F的值；

（2）推断直线x-y-2=0与圆C的位置关系.

答案：（1）由x2+y

∵圆心的坐标为(-2,1)，

∴D=4,E=-2，

又∵圆C过点(0,3),

∴F=-3.

（2）由（1）知，圆C的标准方程为(x+2)2+(y-1

∴圆心到直线x-y-2=0的距离d=|-2-1-2|

∴直线与圆C相离.

探究点二切线与弦长问题

精讲精练

类型1求弦长

例1已知直线l：x-y+m=0与圆C：(x+2)

（1）若直线l经过圆心C，求实数m的值；

（2）当m=3时，推断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长.

答案：（1）由圆C：(x+2)2+(y-2)2

若直线l经过圆心C，则-2-2+m=0，解得m=4.

（2）当m=3时，直线l的方程为x-y+3=0，∴圆心C(-2,2)到直线l的距离d=|-2-2+3|

∴直线l与圆C相交.

此时弦长为2×(

解题感悟

求弦长的方法：（1）交点法：将直线方程与圆的方程联立，交点的坐标易求的，用两点间的距离公式求解；交点的坐标不易求的，用弦长公式求解.（2）由半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形，用勾股定理求解.

类型2求切线方程

例2过点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2

解析：思路分析设出切线l的方程（留意探讨斜率是否存在），利用点到切线l的距离等于圆的半径建立方程求解.

答案：∵(-1-2)2+(4