2025版新教材高中数学第二章直线和圆的方程4.2圆的一般方程学案新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

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圆的一般方程

课标要求

素养要求

课标解读

1.在平面直角坐标系中，探究并驾驭圆的一般方程.

2.能依据圆的一般方程解决与圆有关的轨迹方程问题.

1.逻辑推理——能进行圆的一般方程与标准方程的互化.

2.数学运算——会求圆的一般方程.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

对方程x2+y2+Dx+Ey+F=0

（1）当D2+E2-4F0

（2）当D2+E2-4F=0时，方程（*）只有实数解x=-

（3）当D2+E2-4F0

自主思索

方程x2+y

提示x2+y2+x+y=0表示圆，因为D

名师点睛

1.二元二次方程要想表示圆，需满意x2和y

2.几个常见的圆的一般方程

（1）过原点的圆的一般方程：x2

（2）圆心在y轴上的圆的一般方程：x2

（3）圆心在x轴上的圆的一般方程：x2

（4）圆心在x轴上且过原点的圆的一般方程：x2

（5）圆心在y轴上且过原点的圆的一般方程：x2

互动探究·关键实力

探究点一对圆的一般方程的相识

精讲精练

例已知方程x2

（1）求实数m的取值范围；

（2）求该圆的半径R的最大值.

答案：（1）依据圆的一般方程得D2+E2-4F=(2m

（2）易得R2=-m2+3m+4=-(m-32

解题感悟推断方程x2+y2

迁移应用

1.圆x2

A.8?πB.4?πC.2?

答案：C

解析：原方程可化为(x-1)

∴半径r=2，∴该圆的面积S=

2.已知圆x2+y

答案：4?

解析：x2+y2-2mx-(4m+2)y+4?

∵圆心在直线x+y-7=0上，∴m+2m+1-7=0，即m=2，

∴圆的半径r=2，故圆的周长为2?π

探究点二求圆的一般方程

精讲精练

类型1已知三点求圆的一般方程

例1已知△ABC的三个顶点分别为A(-2,0)，B(0,2)，C(2,-2)，求：

（1）AB边上的高所在直线的方程；

（2）△ABC的外接圆的一般方程.

答案：（1）由题意可知直线AB的斜率k=2-00-(-2)=1，所以AB边上的高所在直线的斜率k=-1，所以AB

（2）设△ABC的外接圆的一般方程为x2

由题意得-2D+F+4=0,2E+F+4=0,2D-2E+F+8=0,

所以△ABC的外接圆的一般方程为x2

、思路分析（1）依据题意求出直线AB的斜率，由垂直关系得到AB边上的高所在直线的斜率，依据点斜式写出AB边上的高所在直线的方程.（2）设出△ABC外接圆的一般方程，代入三点的坐标即可求得对应的系数，即可得到所求圆的一般方程.

解题感悟已知三点求圆的一般方程一般用待定系数法，设出圆的一般方程，列出关于D，E，F的方程组，解三元一次方程组，求出D，E，F的值，并把它们代入所设的方程中即可.

类型2已知圆心求圆的一般方程

例2已知直线l在y轴上的截距为-2，且与直线x-2y-1=0垂直.

（1）求直线l的方程；

（2）设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程.

答案：（1）依据题意，设直线l的方程为y=kx-2.因为直线x-2y-1=0的斜率为12，所以直线l的斜率k=-2，所以直线l的方程为y=-2x-2

（2）由题意知△OAB是直角三角形，所以圆C的圆心C是线段AB的中点，半径为12|AB|.由（1）知y=-2x-2，所以A(-1,0),B(0,-2)，所以

所以圆C的标准方程为(x+12)

思路分析（1）依据题意，设直线l的方程为y=kx-2，由垂直关系得到直线l的斜率，进而可得直线l的方程.（2）求出A，B两点的坐标，由题意知线段AB的中点是圆心C，|AB|是圆C的直径，由此可求得圆C的一般方程.

解题感悟求圆的一般方程时，先确定圆心的坐标和半径，由圆心的坐标、半径求出圆的标准方程，再化为圆的一般方程.

迁移应用

1.经过点A(1,5)和B(2,-22

A.x2+

C.x2+

答案：D

解析：设所求圆的一般方程为x2

因为圆心在x轴上，所以-E2=0

又圆经过点A(1,5)和，

所以1

解得D=-6,

故所求圆的一般方程为x2

2.经过三点(2,-1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为.

答案：x

解析：设所求圆的一般方程为x2

因为圆经过点(2,-1)，(5,0)，(6,1)，

所以4+1+2D-E+F=0,

解得D=-4,E=-8,F=-5，

所以所求圆的一般方程为x2

探究点三干脆法求点的轨迹方程

精讲精练

例（2024四川成都高二期中）如图，已知圆O：x2+y2