2025版新教材高中数学第一章空间向量与立体几何4.2第1课时用空间向量研究距离问题基础训练含解析新.docxVIP

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用空间向量探讨距离问题

1.已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0)，则点A到直线BC的距离为()

A.223B.1C.2

答案：A

2.已知点M(0,1,-2)，平面α过原点O且垂直于向量n=(1,-2,2)，则点M到平面α

A.3B.2C.6D.6

答案：B

3.如图，在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中，F是平面A1

A.12B.66C.6

答案：B

4.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，

A.433B.26C.

答案：D

5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C

A.36B.33C.2

答案：B

6.（多选题）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，则下列说法正确的有()

A.AC⊥PB

B.点C到直线PA的距离为2

C.直线AB到平面PDC的距离为2

D.点D到平面PBC的距离为4

答案：B;D

7.（2024江苏南京江浦中学高二检测）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D,E分别是CC1与A

A.63B.263C.

答案：B

8.（2024山东师大附中高二月考）在四棱锥P-ABCD中，AB=(2,-1,3),

A.55B.15C.2

答案：A

9.（2024北京科大附中高二期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA

答案：42

10.（2024山东济宁试验中学高二月考）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，

答案：2

素养提升练

11.（多选题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、O

A.点A到直线BE的距离是5

B.点O到平面ABC1

C.平面A1BD与平面B

D.点P到直线AB的距离为25

答案：B;C

解析：如图，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E(

易知C1O=(-12

则点O到平面ABC1D

易知A

设平面A1BD的法向量为

则n?A

令z=1，得y=1,x=1，所以n=(1,1,1)

所以点D1到平面A1BD

因为平面A1BD∥平面

所以平面A1BD与平面B1CD

所以平面A1BD与平面B1

易知AD=(0,1,0),AA

所以AP=(

所以点P到AB的距离d=AP

12.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，E是AA

答案：62;

解析：以A为原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、

则A(0,0,0),C(1,1,0),B(1,0,0),E(0,0,12),A1(0,0,1),D(0,1,0),D

因为AD1=CD1，所以M

易知|MD1|=62,

易知CA1∥平面BDE，所以直线CA1上任一点到平面BDE的距离都相等，设平面BDE

所以n?BD=-x+y=0,n?BE=-x+12z=0,令x=1，则

13.（2024山东济宁鱼台一中高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD=O，平面ABCD为菱形，边长为2，PC⊥BD，PA=PC，且∠ABC=60°，异面直线PB与CD所成的角为

（1）求证：PO⊥平面ABCD；

（2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.

答案：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵PC⊥BD，PC∩AC=C，PC，AC?平面APC，∴BD⊥平面APC，

∵PO?平面APC，∴BD⊥PO，

∵PA=PC，O为AC的中点，∴PO⊥AC，

又AC∩BD=O，AC,BD?平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD.

（2）以O为原点，OB,OC,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

∵AB∥CD，∴∠PBA为异面直线PB与CD所成的角，

∴∠PBA=60

∵在菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，

设PO=a,a0，则PA=a

在△PBA中，由余弦定理得，

PA

∴a

解得a=6

∴O(0,0,0),A(0,-1,0),B(3

∴BE=(-3

∴点E到直线BP的距离d=BE

14.（2024山东菏泽单县五中高二月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3,BC=1,PA=2，E为PD的中点.在侧面PAB内找出一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N到平面