2.3直线的交点坐标与距离公式（解析版）.docx

2.3直线的交点坐标与距离公式

题型汇总

题型1：两条直线的交点坐标

例1.判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标：

（1），；

（2），；

（3），．

分析：解直线，的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则与相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则与重合．

解：（1）解方程组得

所以，与相交，交点是．

（2）解方程组

得，矛盾，这个方程组无解，所以与无公共点，．

（3）解方程组

得

①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，与重合．

【变式1-1】直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.时，利用两条直线垂直可得：，解得.联立方程解出即可得出.

【详解】时，直线分别化为：，此时两条直线不垂直.

时，由两条直线垂直可得：，解得.综上可得：.

联立，解得，.∴这两条直线的交点坐标为.

故选：

【点睛】本题考查了直线相互垂直、分类讨论方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

【变式1-2】不论为何实数，直线恒过定点（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.

【详解】根据题意,将直线方程变形为

因为位任意实数,则,解得

所以直线过的定点坐标为

故选:C

【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.

【变式1-3】已知满足，则直线必过定点（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】本题先代换得，再化简直线方程为，最后建立方程组求所过定点.

【详解】由，得，代入直线方程中，

得，即.

令解得

该直线必过定点.

故选：D.

【点睛】本题考查直线所过定点问题，是基础题.

题型2：两点间的距离

例2.求下列两点间的距离：

（1），；（2），；

（3），；（4），．

【答案】（1）8；（2）3；（3）2；（4）．

【分析】（1）（2）（3）（4）直接利用两点的距离公式求解；

【详解】（1）|AB|＝6+2＝8；

（2）|CD|＝﹣1+4＝3；

（3）|PQ|2；

（4）|MN|．

【变式2-1】点为平面直角坐标系内一点，线段PM的中点是，那么点M到原点O的距离为（????）

A．41 B． C． D．39

【答案】B

【分析】利用中点坐标公式，求出点坐标，再利用两点间距离公式可求点M到原点O的距离.

【详解】设，由中点坐标公式得，，

解得，．所以点．

则．

故选：B

【点睛】本题主要考查了中点坐标公式和两点间距离公式，属于基础题.

【变式2-2】已知点，，线段的垂直平分线与x轴相交于点P，则的值为（????）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】首先求出的垂直平分线方程，从而得到，再用两点之间距离公式计算即可.

【详解】线段AB的中点坐标为，

线段AB所在直线的斜率．

线段AB的垂直平分线方程为．

令，得．

解得，因此，．.

故选：D

【点睛】本题主要考查直线方程，同时考查两点之间距离公式，属于简单题.

【变式2-3】光线从点射到轴上，经反射以后经过点，则光线从到经过的路程为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】点关于轴的对称点为,求出即得解.

【详解】点关于轴的对称点为，

则光线从到经过的路程为的长度，

即.

故选：C

??

【变式2-4】在直线上求点，使点到的距离为，则点坐标是（????）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】设，根据点到的距离为和点在直线上，两式联立求解.

【详解】设，

所以，

即，

又因为点在直线上，所以，

两式联立解得或，所以点坐标是或.

故选：C

【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

题型3：交点、两点间距离公式的综合应用

例3.已知直线：与：的交点为.

（1）求交点的坐标；

（2）求过点且平行于直线：的直线方程；

（3）求过点且垂直于直线：直线方程.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）联立直线与，即可求解；

（2）先设直线：，把点的坐标代入即可求解；

（3）先设直线：，把点的坐标代入即可求解；

【详解】（1）由解得

所以点的坐标是；

（2）因为所求直线与平行，

所以设所求直线的方程为，

把点的坐标代入得，得，

故所求直线的方程为；

（3）因为所求直线与垂直，

所以设所求直线的方程为，

把点的坐标代入得，得，

故所求直线的方程为.

【点睛】本题主要考查直线与直线的位置关系，重点考查直线的平行与垂直，属于基础题.

【变式3-1】（1）求在x轴上与点A(5，12)的距离为13的点的坐标.

（2）已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1，5)间的距离等于10，