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大二数学期末试卷及答案
一、单项选择题（每题3分，共15分）
1.以下哪个函数是奇函数？
A.f(x)=x^2
B.f(x)=x^3
C.f(x)=x^4
D.f(x)=|x|
2.以下哪个选项是正确的极限？
A.lim(x→0)sin(x)/x=0
B.lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e
C.lim(x→0)(1+x^2)^(1/x)=1
D.lim(x→0)(1-x)^(1/x)=1
3.以下哪个积分是收敛的？
A.∫(1/x)dxfrom1to∞
B.∫(1/x^2)dxfrom1to∞
C.∫(1/x^3)dxfrom1to∞
D.∫(1/x)dxfrom0to1
4.以下哪个矩阵是可逆的？
A.[12;34]
B.[10;00]
C.[20;02]
D.[11;11]
5.以下哪个方程组有唯一解？
A.x+y=1
x-y=1
B.x+y=1
2x+2y=2
C.x+y=1
3x+3y=3
D.x+y=1
x-y=0
二、填空题（每题4分，共20分）
6.函数f(x)=2x-3的反函数是_________。
7.函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是_________。
8.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的周期是_________。
9.矩阵A=[12;34]的行列式是_________。
10.函数f(x)=x^3-3x^2+2在x=1处的导数是_________。
三、计算题（每题10分，共30分）
11.计算极限：lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)。
12.计算不定积分：∫(x^2+3x-2)dx。
13.计算矩阵的逆：A=[12;34]，求A^(-1)。
四、解答题（每题15分，共30分）
14.证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。
15.解线性方程组：
x+2y-z=1
2x-y+z=0
-x+y+2z=3
答案
一、单项选择题
1.B.f(x)=x^3
2.B.lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e
3.B.∫(1/x^2)dxfrom1to∞
4.C.[20;02]
5.A.x+y=1
x-y=1
二、填空题
6.f^(-1)(x)=(x+3)/2
7.0
8.2π
9.-2
10.-3
三、计算题
11.极限的计算：
lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)((x+2)(x-2))/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=4
12.不定积分的计算：
∫(x^2+3x-2)dx=(1/3)x^3+(3/2)x^2-2x+C
13.矩阵的逆的计算：
A=[12;34]，行列式|A|=-2，A^(-1)=(1/|A|)adj(A)=(-1/2)[4-3;-21]=[-21.5;1-0.5]
四、解答题
14.证明：
设任意x1,x2∈R，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)。
由于x1x2，所以x1-x20，又因为x1^2+x1x2+x2^20，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)。
因此，函数f(x)=x^3在R上是增函数。
15.解线性方程组：
x+2y-z=1
2x-y+z=0
-x+y+2z=3
将方程1和方程2相加得：3x+y=1，记为方程4。
将方程2和方程3相加得：x+2y+3z=3，记为方程5。
将方程4乘以2减去方程5得：5x=-5，解得x=-1。
将x=-1代入方程4得：-
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