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大二线性代数试卷及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.线性代数中，矩阵的秩是指（）

A.矩阵中非零行的个数

B.矩阵中非零列的个数

C.矩阵中线性无关行的个数

D.矩阵中线性无关列的个数

2.对于一个n阶方阵A，下列说法正确的是（）

A.A的行列式为0，则A可逆

B.A的行列式不为0，则A可逆

C.A的行列式为0，则A不可逆

D.A的行列式不为0，则A不可逆

3.向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）

A.由这些向量构成的矩阵的行列式不为0

B.由这些向量构成的矩阵的秩等于n

C.由这些向量构成的矩阵的行列式为0

D.由这些向量构成的矩阵的秩小于n

4.矩阵A和B可以相乘的条件是（）

A.A的行数等于B的列数

B.A的列数等于B的行数

C.A的行数等于B的行数

D.A的列数等于B的列数

5.如果矩阵A和B相似，则下列说法正确的是（）

A.A和B的行列式相等

B.A和B的迹相等

C.A和B的特征值相同

D.A和B的秩相等

二、填空题（每题4分，共20分）

6.设矩阵A=\[\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\]，则A的行列式为________。

7.若向量α=\[\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\]，β=\[\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}\]，则α和β的内积为________。

8.矩阵A=\[\begin{bmatrix}10\\02\end{bmatrix}\]的特征值为________。

9.矩阵A=\[\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\]的秩为________。

10.若矩阵A和B满足AB=0，则A和B至少有一个是________。

三、计算题（每题15分，共30分）

11.计算矩阵A=\[\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}\]的行列式。

12.求矩阵A=\[\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}\]的逆矩阵。

四、证明题（每题15分，共15分）

13.证明：若矩阵A和B可交换，即AB=BA，则A和B的特征值相同。

五、综合题（每题15分，共15分）

14.设矩阵A=\[\begin{bmatrix}123\\456\\7810\end{bmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。

答案

一、选择题

1.C

2.B

3.B

4.A

5.C

二、填空题

6.0

7.11

8.1,2

9.2

10.零矩阵

三、计算题

11.行列式计算：

\[\text{det}(A)=1(5\times9-6\times8)-2(4\times9-6\times7)+3(4\times8-5\times7)=0\]

12.逆矩阵计算：

\[A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\text{adj}(A)=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4-2\\-31\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-21\\1.5-0.5\end{bmatrix}\]

四、证明题

13.证明：

设λ是A的一个特征值，对应的特征向量为α，即Aα=λα。由于AB=BA，我们有：

\[B(A\alpha)=A(B\alpha)\]

\[\lambda(B\alpha)=A(B\alpha)\]

这意味着Bα也是A的一个特征向量，特征值为λ。同理，如果μ是B的一个特征值，对应的特征向量为β，那么Aβ也是B的一个特征向量，特征值为μ。因此，A和B的特征值相同。

五、综合题

14.特征值计算：

首先计算A的行列式：

\[\text{det}(A-\lambdaI)=\begin{vmatrix}1-\lambda23\\45-\lambda6\\7810-\lambda\end{vmatrix}\]

通过计算得到特征多项式，解得特征值。

特征向量计算：

对于每个特征值，解方程组(A-λI)x=0，得到对应的特征向量。

以上为大二线性代数试卷及答案的示例，具体题目和答案需要根据实际的课程内