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大连高中数学试卷及答案

一、选择题（每题5分，共50分）

1.若函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)的值为：

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B为：

A.{1}

B.{2,3}

C.{3,4}

D.{1,2,3}

3.下列不等式中，恒成立的是：

A.|x|x

B.|x|≥x

C.|x|≤x

D.|x|x

4.已知向量a=(3,-2)，b=(2,4)，则向量a·b的值为：

A.-2

B.2

C.10

D.-10

5.函数y=x^3-3x^2+3x-1的导数为：

A.3x^2-6x+3

B.3x^2-6x+1

C.3x^2-6x+3x-1

D.3x^2-6x+3x-3

6.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为：

A.9

B.11

C.13

D.15

7.若复数z满足z^2=i，则z的值为：

A.i

B.-i

C.1+i

D.1-i

8.已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a=2，b=1，则该双曲线的渐近线方程为：

A.y=±x/2

B.y=±2x

C.y=±x/√2

D.y=±2x/√5

9.函数y=cos(x)的周期为：

A.2π

B.π

C.1

D.1/2

10.已知抛物线方程为y^2=4x，其焦点坐标为：

A.(1,0)

B.(2,0)

C.(0,1)

D.(0,2)

二、填空题（每题5分，共30分）

11.已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3的值为______。

12.若直线方程为3x+4y-5=0，则该直线的斜率为______。

13.已知圆的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=9，则该圆的半径为______。

14.函数y=ln(x)的定义域为______。

15.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a+b的值为______。

16.函数y=x^2-4x+4的最小值为______。

三、解答题（共70分）

17.（10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f(x)0，解得x0或x2；令f(x)0，解得0x2。因此，f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。

18.（10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求数列{an}的通项公式。

解：首先将递推关系式变形为an+1+1=2(an+1)，令bn=an+1，则bn+1=2bn。由于b1=a1+1=2，可知{bn}为首项为2，公比为2的等比数列。因此，bn=2^n，进而得到an=2^n-1。

19.（15分）已知直线l：y=kx+1与椭圆C：x^2/4+y^2/3=1相交于A、B两点，且AB的中点为M(1,1/2)。求直线l的斜率k。

解：将直线l的方程代入椭圆C的方程，得到(3+4k^2)x^2+8kx-8=0。由于M为AB的中点，根据中点坐标公式，有x1+x2=2。根据韦达定理，x1+x2=-8k/(3+4k^2)=2，解得k=-3/4。

20.（15分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求证：f(x)在(1,+∞)上单调递增。

证明：首先求导数f(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。由于x1，可知(x-1)^20，进而得到f(x)0。因此，f(x)在(1,+∞)上单调递增。

21.（20分）已知抛物线C：y^2=4x，点P(a,0)（a0）在抛物线C的准线上，直线l过点P且与抛物线C相切于点A(x1,y1)。求直线l的方程。

解：首先求抛物线C的准线方程为x=-1。由于点P(a,0)在准线上，可知a=1，即P(1,0)。设直线l的方程为y=k(x-1)，代入抛物线C的方程，得到k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0。由于直线l与抛物线C相切，可知该二次方程有且仅有一个实根，即判别式Δ=0。解得k=±2√2。因此，直线l的方程为y=±2√2(x-1)。

四、附加题（10分）

22.（10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的极值点。

解：首先求导数f(x)=3x^2-6x+2=3(x-1)^2-1。令f(x)=0，解得x=1±