2025中考数学权威预测热点题型·专题03 一次函数与反比例函数综合及与几何综合问题（解析版）.docxVIP

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专题03一次函数与反比例函数综合及与几何综合问题

目录

TOC\o1-3\h\u热点题型归纳 1

题型01图象交点问题 1

题型02k的几何意义及其应用 10

题型03大小范围问题 25

题型04面积问题 33

题型05反比例函数与几何综合问题 41

中考练场 55

题型01图象交点问题

一次函数与反比例函数中的综合问题的图象交点问题，是初中数学函数知识体系里，综合考查代数运算与几何直观的关键内容，在初中数学考试里，分值占比约为5%-10%。

考查重点：考查学生能否利用函数解析式联立方程，求解交点坐标，并依据交点分析函数性质及变量关系。

高频题型：常见的高频题型有根据交点坐标求函数表达式中的参数值，通过图象交点判断不等式解集，以及基于交点探究函数的变化趋势。

高频考点：主要考点包括联立一次函数与反比例函数解析式解方程组，利用交点坐标确定函数系数，结合图象解读交点在不同情境下的意义。

能力要求：要求学生具备较强的方程求解能力、数形结合思维，能够将图象信息转化为代数关系，还需有良好的逻辑推理能力来分析交点相关问题。

易错点：易错点在于联立方程求解时计算出错，对交点坐标与函数性质的关联理解不清，以及忽略函数自变量的取值范围对交点的影响。

【提分秘籍】

一、精准求解方程

联立一次函数与反比例函数解析式，形成方程组后，仔细运算。比如解代入消元时注意正负号，计算每一步都要检查，确保准确得出交点坐标，这是得分基础。

二、巧用图象助力

通过图象观察交点位置，结合函数性质分析。如交点在一象限，一次函数上升，可判断反比例函数值正负，从而快速解决基于交点探究函数变化趋势等题目，提升解题速度与准确率。

【典例分析】

例1．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是(???)

??

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】B

【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．

【详解】解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，

当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，

即当时，的取值范围是或，

故选：B．

【点睛】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．

例2．（2023·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．

??

(1)求的值．

(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．

【答案】(1)，

(2)见解析

【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；

（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．

【详解】（1）∵点的横坐标是2，

∴将代入

∴，

∴将代入得，，

∴，

∵点的纵坐标是，

∴将代入得，，

∴，

∴将代入得，，

∴解得，

∴；

（2）如图所示，

??

由题意可得，，，

∴设所在直线的表达式为，

∴，解得，

∴，

∴当时，，

∴直线经过原点．

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．

例3．（2023·浙江湖州·中考真题）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是(????)

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．

【详解】解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，

∴．

令，则，．

将点和点代入，得；

将点和点代入，得．

∴，，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴．

①当时，，

∴不符合要求，应舍去；

②当时，，

∴符合要求；

③当时，，

∴不符合要求，应舍去；

④当时，，

∴符合要求；

⑤当时，，

∴不符合要求，应舍去．

综上，t的取值范围是或．

故选：D．

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．

【变式演练】

1．（2024·浙江·一模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图