冲刺2025中考数学 全国通用 重难点04+二次函数解答题（含答案解析）.docxVIP

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重难点04二次函数解答题

北京中考数学中，二次函数通常以综合题的形式出现，尤其是在试卷的倒数第三题或压轴题中。这类题目不仅考查二次函数的基本知识（如开口方向、对称轴、顶点坐标等），还结合几何图形或其他数学知识进行综合分析，要求学生具备较强的数形结合能力和逻辑推理能力。例如，2021年北京中考第26题就涉及二次函数的对称性和单调性，并结合几何图形进行分析。北京中考二次函数题目不仅考查学生对基础知识的掌握，还注重考查学生的数学思维能力和实际应用能力。例如，2024年北京中考第26题要求学生综合运用二次函数的知识解决实际问题，并通过分类讨论的方法得出结论。这种题目设计旨在培养学生的逻辑推理能力和问题解决能力。

【题型1求对称轴】

考查了二次函数图像上点的坐标特征：掌握二次函数的性质，掌握二次函数图像与系数的关系是解题的关键．直接根据对称轴公式可得对称轴直线方程。

1．（2024年北京市陈经纶中学中考一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线

(1)求该抛物线的对称轴（用含的式子表示）；

(2)若，当时，求的取值范围；

(3)已知，，为该抛物线上的点，若，求的取值范围．

2．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点．

(1)求抛物线的对称轴（用含的式子表示）；

(2)若，点中至少有一个点位于轴的上方，直接写出的范围；

(3)若对于时，都有，求的取值范围．

3．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中．

(1)若抛物线经过点，

①求抛物线的对称轴；

②当时，比较，的大小，并说明理由；

(2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围．

4．（2024年北京市第十一中学中考三模）在平面直角坐标系中，，，三点都在抛物线上，

(1)这个抛物线的对称轴为直线_________；

(2)若无论t取何值，点A、B、C中至少有两点在x轴上方，结合函数图象，求a的取值范围．

5．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系中，点在抛物线上，其中．

(1)当，时．求抛物线的对称轴；

(2)已知当时，总有．

①求证：；

②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存在，说明理由．

【题型2比较函数值的大小】

主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论。

6．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为．

(1)若，，求t的值；

(2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由．

7．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线．

(1)求的值（用含的代数式表示）；

(2)点，，在该抛物线上．若抛物线与x轴的一个交点为，其中，比较，，的大小，并说明理由．

8．（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，点，都在抛物线上，且，．

(1)当时，比较，的大小关系，并说明理由；

(2)若存在，，满足，求的取值范围．

9．（北京市第二十七中学2022一2023学年九年级上学期12月）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）．

(1)求点A，B的坐标及抛物线顶点坐标；

(2)已知点，，在该抛物线上，比较，，的大小，并说明理由．

(3)已知点向右平移两个单位再向下平移一个单位得到点D，若抛物线与线段CD只有一个公共点，直接写出a的取值范围．

10．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m–2,y1），（m,y2），（2-m,y3）在抛物线y=x2－2ax+1上，其中m≠1且m≠2．

(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；

(2)当m=0时，若y1=y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；

(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．

【题型3求参数的范围】

考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键．首先可求得抛物线的解析式及对称轴所在的直线，再根据二次函数的性质，即可得结论；分两种情况，即开口向上和向下时，分别讨论计算即可求得．

11．（北京市三帆中学2021-2022学年九年级下学期一模）在平面直角坐标系xOy中，点，，在抛物线上．

(1)若，，，求该抛物线的对称轴并比较，，的大小；

(2)已知抛物线的对称轴为，若，求t的取值范围．

12．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线.

(1)当时，求抛物线的顶点坐