第八章--多元函数微积分.pptVIP

第一节多元函数的概念

一、平面区域

（1）邻域

设是平面上的一个点，是某

P0(x0,y0)xoy

一正数，与点距离小于的点

P0(x0,y0)P(x,y)

的全体，称为点的邻域，记为，

P0U(P0,)

U(P0,)P|PP0|



22

(x,y)|(xx0)(yy0).P0



称为点的去心邻域

U(P0,){P0PP0}P0.

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（2）区域

设E是平面上的一个点集，P是平面上的

一个点．如果存在点P的某一邻域U(P)E，

则称P为E的内点.

如果点集E的点都是内点，

则称E为开集.P

22

例如，E1{(x,y)1xy4}

E

即为开集．

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如果点P的任一个邻域内既有属于E的点，

也有不属于E的点，则称P为E的边界点．



E的边界点的全体称为E的边界．P

设D是开集．如果对于D内

任何两点，都可用折线连结起来，E

且该折线上的点都属于D，则称



开集D是连通的．

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连通的开集称为区域或开区域．y

例如，{(x,y)|1x2y24}.ox

开区域连同它的边界一起称为闭区域.y

例如，{(x,y)|1x2y24}.

ox

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对于点集E如果存在正数K，使一切点

PE与某一定点A间的距离AP不超过K，

即APK

对一切PE成立，则称E为有界点集，否

则称为无界点集．例如，

y

{(x,y)|1x2y24}

有界闭区域；

x

o{(x,y)|xy0}

无界开区域．

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（3）聚点

设E是平面上的一个点集，P是平面上的

一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限

多个点属于点集E，则称P为E的聚点.

内点一定是聚点；

边界点可能是聚点；

例{(x,y)|0x2y21}

(0,0)既是边界点也是聚点．

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点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．

例如,{(x,y)|0x2y21}

(0,