2024_2025学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案新人教A版选修2_2.docVIP

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复数代数形式的加、减运算及其几何意义

导思

1.如何利用复数代数形式进行加减运算？

2．复数代数形式的加减运算的几何意义是什么？

复数的加、减法法则及几何意义与运算律

(1)两个复数的和或差得到的结果是什么？

提示：结果仍旧是唯一的复数．

(2)复数的加法法则可以推广吗？

提示：可以推广到多个复数相加的情形．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)两个复数的加法不满意结合律．()

(2)复数的加法运算法则只适用于两个复数相加．()

(3)复数与向量一一对应．()

提示：(1)×.复数的加减法满意结合律．

(2)×.可以推广到多个复数相加．

(3)×.正确说法是：复数z＝a＋bi与平面对量：eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)一一对应．

2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为()

A.5＋2iB．－iC．1D．1－i

【解析】选C.由题得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋i))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋i))＝3＋i－2－i＝1.

3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为()

A.3B．2C．1D．－1

【解析】选D.z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.

因为z1＋z2所对应的点在实轴上，

所以1＋a＝0.所以a＝－1.

类型一复数的加减运算(数学运算)

1．已知i为虚数单位，复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则a，b的值分别为()

A．－3，－4B．－3，4C．3，－4D．3，4

【解析】1.选A.因为z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，所以z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，解得b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＋3＝0且4－b≠0，解得a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4.

2．计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________．

【解析】2．(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.

答案：－2－i

3．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________．

【解析】3.整理(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)得x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i，

故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋4＝y－1，,x＋y＝3x－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝11.))

答案：611

复数加、减运算法则的记忆

(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．

(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．

提示：留意运算格式及范围，避开出错

在进行复数减法运算时要留意格式，两复数相减所得结果依旧是一个复数，其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差．留意中间用“＋”号，如z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，而不是z1－z2＝(a－c)－(b－d)i(a，b，c，d∈R).

【补偿训练】

1.已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝()

A．0B．6iC．6D．6－6i

【解析】选D.因为z＋3i－3＝3－3i，

所以z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.

2．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．

【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2a－3＝0，,a2－1≠0，))解得a＝3.

答案：3

类型二复数加减法的几何意义(数学运算、直观想象)

【典例】1.设向量eq\o(OP,\s\up6(→))，eq\o(PQ,\s\up6(→))，eq\o(OQ,\s\up6(→))对应的复数分别为z1，z2，z3，那么()

A．z1＋z2＋z3＝0B．z1－z2－z3＝0

C．z1－z2＋z3＝0D．z1＋z2－z3＝0

【解析】1.选D.因为eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，所以z1＋z2＝z3