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第五章第六节定积分的几何应用（一）平面图形的面积直角坐标情形2.极坐标方程的情形（二）旋转体的体积回顾：基本积分公式直角坐标情形回顾曲边梯形求面积的问题abxyoAB求和，得A的近似值面积表示为定积分的步骤如下:abxyo（4）求极限，得A的精确值面积微元注意：仿此可得图1的面积：y图2的面积：（图1）y+dy（图2）Ax+dxx=f(y)——上曲线减下曲线对x积分。第一步第二步第三步（图3）的面积：xy=f(x)（图3）（图4）（图4）的面积：（图5）解必要的交点，定积分限；选择适当公式，求出面积（定积分）。注意：答案永远为正。01——右曲线减左曲线对y积分。x=g(y)02一般解题步骤：A03画草图，定结构；x=f(y)解选为积分变量两曲线的交点先求两曲线的交点。解解法2选为积分变量显然解法2简单！选择合适的积分变量是重要的。解设椭圆方程为由对称性知，总面积等于第一象限部分面积的4倍．以x为积分变量，得2.极坐标方程的情形曲边扇形面积微元曲边扇形的面积公式解由对称性知，总面积=第一象限部分面积的4倍。解利用对称性知，所求面积为上半部的两倍，圆柱圆锥圆台旋转体的体积旋转体——由一个平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．旋转体的体积公式推导xyo解直线方程为如图由于图形关于坐标轴对称，故只需考虑其第一象限内的曲边梯形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。求椭圆分别绕轴与轴旋转而成的旋转体的体积。例7解（1）绕轴旋转而成的旋转体的体积为：特别地，当时，得半径为的球体积（2）绕轴旋转而成的旋转体的体积为：三、平行截面面积已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积0102030405解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积
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