2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高一下学期3月调研考试数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年江苏省南京市六校联合体高一下学期3月调研考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量a=1,2，b=x,?1，若向量a//

A.2 B.12 C.?12

2.若cos(π4?α)=4

A.?725 B.1825 C.7

3.已知向量a，满足a=1，b=2，a，夹角为3π4，则在a上的投影向量为(????)

A.?2 B.2a C.

4.在?ABC中，若sin(A?B)+sinC=0，则?ABC是

A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

5.已知sin(α+β)=15，sin(α?β)=1

A.1 B.14 C.?14

6.一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为(????)海里

A.25(6?2) B.25(

7.如图，在直角?ABC，∠ACB=90°，AC=1,BC=3，点E，F是边BC上两个三等分点，则cos∠EAF=(????)

A.1010 B.31010

8.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若asinBcosC+csinBcosA=

A.(1,32) B.(32

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列化简结果是12的选项为(????)

A.22sin105°+

10.下列命题正确的是(????)

A.在?ABC中，AB是sinAsinB的充要条件

B.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a=2,B=π6,b=233，则A=π3

C.在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=π

11.在?ABC中，点D,M分别满足AB=3AD,BC=2MC,AM与CD相交于点

A.AF=12AM

B.若AB=4,AC=2,∠BAC=π3，则AM=5+23

C.S?AFD:

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a，b满足a=1，b=3，且a?(a?3b)=3，则a

13.cos10

14.如图所示，已知点G是?ABC的重心，过点G作直线MN与AB、AC两边分别交于M、N两点，且AB=xAM，AC=yAN，则x+y=??????????；x

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

已知a=4，b=2，且a与b的夹角为

(1)求a+2

(2)若向量2a?λb⊥

16.(本小题12分)

已知tan(

(1)求tanα

(2)求12

(3)求2α?β的值．

17.(本小题12分)

如图，在?ABC中，已知B=π4，D是边BC上一点，AD=10，AC=14，

(1)求cos∠ADC

(2)求AB的长；

(3)求?ABC的面积．

18.(本小题12分)

已知函数fx

(1)求f(x)的周期及在(0,π

(2)已知锐角?ABC中，BC=22，且?ABC的面积为3，f(A)=32

19.(本小题12分)

我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点T，该点T即称为托里拆利点(以下简称“T点”).通过研究发现三角形中的“T点”满足到三角形三个顶点的距离和TA+TB+TC最小.当?ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为“T点”；当?ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为“T

(1)若3

①求A；

②若bc=4，设点P为?ABC的“T点”，求PA?

(2)若acosB?bcosA=c，设P点为?ABC的“T点”，PB+

参考答案

1.C?

2.C?

3.C?

4.C?

5.D?

6.A?

7.B?

8.B?

9.AB?

10.AC?

11.AC?

12.?2

13.2?

14.3?；3

15.(1)a

∴a

所以a+2

(2)由2a?λb

即2λa

∴32λ+4×6?λ2

∴λ=?1或λ=6．

?

16.(1)由tanπ4+α

(2)由(1)得12

(3)依题意，tan2α?β

由tanα=12，α∈(?π2,π2)

所以2α?β=π

?

17.(1)在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，

由余弦定理可得：cos∠ADC=

(2)