7.3 离散型随机变量的数字特征（六大题型）（原卷版）.docxVIP

7．3离散型随机变量的数字特征

【题型归纳目录】

题型一：利用定义求离散型随机变量的均值

题型二：离散型随机变量均值的性质

题型三：离散型随机变量均值的应用

题型四：求离散型随机变量的方差

题型五：方差的性质的应用

题型六：均值与方差的综合应用

【知识点梳理】

1、离散型随机变量的均值或数学期望

正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为

…

…

…

…

则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．

2、两点分布的期望

一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么；

3、离散型随机变量的均值的性质

设X的分布列为．

一般地，下面的结论成立：．

4、离散型随机变量的方差、标准差

正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值

设离散型随机变量X的分布列为

…

…

…

…

考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称

为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为．

5、几个常见的结论

（1）．

（2）若服从两点分布，则．

【典型例题】

题型一：利用定义求离散型随机变量的均值

【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（????）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

【典例1-2】（2024·高三·江西宜春·阶段练习）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（????）

A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53

【变式1-1】（2024·高三·北京·阶段练习）暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【变式1-2】（2024·高二·湖南衡阳·期中）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（????）

A．2 B．3 C． D．

【变式1-3】（2024·高二·全国·课时练习）已知随机变量的分布列为：

1

2

3

0.2

0.5

则的均值是（????）

A．2 B．2.1

C．2.3 D．随的变化而变化

【变式1-4】（2024·高二·全国·课时练习）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（????）

A．0.9 B．0.8

C．1.2 D．1.1

【方法技巧与总结】

求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P（X＝k）；（3）写出分布列；（4）利用E（X）的计算公式计算E（X）．

题型二：离散型随机变量均值的性质

【典例2-1】（2024·高二·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为．

【典例2-2】（2024·高二·黑龙江双鸭山·阶段练习）设的分布列如图，又，则.

1

2

3

4

P

a

【变式2-1】（2024·高二·江苏·课时练习）已知随机变量X的概率分布为

X

－2

－1

0

1

2

P

m

若，且，则．

【变式2-2】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知离散型随机变量X的分布列如表：若离散型随机变量，则．

0

1

2

3

【变式2-3】（21·22高二·全国·课时练习）设离散型随机变量的期望为，则．

【变式2-4】（2024·高二·福建三明·期中）随机变量的分布如下表，则.

0

2

4

0.4

a

0.3

【方法技巧与总结】

离散型随机变量性质有关问题的解题思路

若给出的随机变量与的关系为为常数，一般思路是先求出，再利用公式求．也可以利用的分布列得到的分布列，关键是由的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得．

题型三：离散型随机变量均值的应用

【典例3-1】（2024·安徽黄山·一模）某校高三年级名学生的高考适应性演练数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是、