河北省雄安新区部分高中2024届高三数学下学期三模考试.docx

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数学试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共58分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设，为单位向量，则的最大值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知复数（，为虚数单位），则“”是“在复平面内对应的点位于第四象限”的（）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3．设全集为，定义集合与的运算：且，则（）

A． B． C． D．

4．已知，，，，则（）

A． B． C． D．

5．如图，将正四棱台切割成九个部分，其中一个部分为长方体，四个部分为直三棱柱，四个部分为四棱锥．已知每个直三棱柱的体积为3，每个四棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为（）

A．36 B．32 C．28 D．24

6．小李买了新手机后下载了，，，4个APP，已知手机桌面上每排可以放4个APP，现要将它们放成两排，且和放在同一排，则不同的排列方式有（）

A．288种 B．336种 C．384种 D．672种

7．已知直线与曲线有三个交点，，，且，则以下能作为直线的方向向量的坐标是（）

A． B． C． D．

8．过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于，两点，若为的内角平分线，则面积的最大值为（）

A． B． C． D．16

二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9．设，是一次随机试验中的两个事件，且，，，则（）

A．，相互独立 B．

C． D．

10．如图，多面体由正四棱锥和正四面体组合而成，其中，则（）

A．该几何体的表面积为

B．该几何体为七面体

C．二面角的余弦值为

D．存在球，使得该多面体的各个顶点都在球面上

11．已知函数与，记，其中，且，则（）

A．一定为周期函数 B．若，则在上总有零点

C．可能为偶函数 D．在区间上的图像过3个定点

第Ⅱ卷（非选择题共92分）

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12．展开式中的常数项是120，则______．

13．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与轴相交于点，与在第一象限的交点为，若，，则的离心率为______．

14．若对于，，使得不等式恒成立，则整数的最大值为______．

四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（13分）已知函数．

（1）若是的一个极值点，求的值；

（2）若有两个极值点，，其中，求的取值范围．

16．（15分）在四棱锥中，平面底面，．

（1）是否一定成立？若是，请证明；若不是，请给出理由；

（2）若是正三角形，且是正三棱锥，，求平面与平面夹角的余弦值．

17．（15分）

10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下：

环数

6环

7环

8环

9环

10环

甲的射击频数

1

1

10

24

24

乙的射击频数

3

2

10

30

15

丙的射击频数

2

4

10

18

26

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立．

（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，并说明理由；

（2）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；

（3）甲、乙、丙各射击10次，用分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于环的次数，其中，写出一个的值，使，并说明理由．

18．（17分）已知是圆上的动点（点是圆心），定点，线段的中垂线交直线于点．

（1）求点的轨迹；

（2）设上点（不在轴上）处的切线是，过坐标原点作平行于的直线，交直线，分别于点，，求的取值范围．

19．（17分）已知为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当时，均有．设，对于，定义，其中表示数集中最小的数．

（1）若，写出，的值；

（2）若存在满足，求的最小值；

（3）当时，证明：对所有．

参考答案及解析

一、选择题

1．C 2．A 3．B 4．A

5．C 6．D 7．C 8．B

二、选择题

9．ABD 10．AC 11．ABD

三、填空题

12．2 13． 14．0

四、解答题

15．解：（1）易知，

又是的一个极值点，所以，即，所以，

此时，

令，，

所以在上单调递增，且，

当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，即符合题意，因此的值为．

（2）因为，且有两个极值点，，

所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，将问题转化为函数与函数的图像在上有两个不同的交点，则，