6.2.3 向量的数乘运算（1）课件 高中数学人教A版必修第二册.pptxVIP

6.2平面向量的运算

§6.2.3向量的数乘运算

第六章平面向量及其应用;

向量的数乘运算及其几何意义

数乘运算的运算律线性运算

平面向量共线定理

小结及随堂练习;

温故知新

1.向量的加法运算：

①三角形法则：首尾相连，起点指向终点

②平行四边形法则：起点相同，连对角

2.向量的减法运算：

共起点，连终点，指向被减

思考：向量有乘法运算吗?怎么定义呢?运算结果是什么量呢?;

向量的数乘运算及其几何意义;

类似的，PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)。

我们把(-a)+(-a)+(-a)记作-3a,即PN=-3a。

显烈-3a的方向与a的方向相反，

-3a的长度是a的长度的3倍，即|-3a|=3|a|;

生成新知;

如右图，在向量数乘中，

|风|可视为将向量a的长度伸长(I2|≥1)或缩短(|2|≤1)的倍数。

λ的符号表示能够改变向量的方向，

当λ0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ=0时，λa=0(若a=0,λa=0也成立);

应用新知

例1.把下列小题中的向量b表示为向量a的数乘形式。

(1)a=3e,b=6e;B=2a

(2)a=8e,b=-14e;

(3)

例2.下列说法中正确的是(D)

A.λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数)

B.若a,b共线，则b=λa(λ为实数)

C.若同=2|al,则b=±2a

D.若b=±2a,则引=2|al;

数乘的运算律线性运算;

深入研究

思考1:数的乘法满足交换律、结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢?

探究①:3(2a)与6a之间的联系;

探究③:2(a+b)与2a+2b之间的联系

2(a+b

λa+b)=λa+λb

a+6

2a;

特别地，我们有(-λ)a=-(aa)=A(-a)

λa-b)=λa-Ab

(I)向量的线性运算：

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。

对于任意的向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2

恒有a(μ?a±μ?b)=λμ?a±λμ?b;

应用新知

例3:计算(1)(-3)×4a

(2)3(a+b)-2a-b)-a

(3)(2a+3b-E)-(3a-2b+C

解：(1)原式=(-3×4)C=-12

(2)原式=3C+3b-2a+2B-a=5B

(3)原式=2a+3b-C-3a+2B-C=-a+5b-2E

例4.(多选)下列各式计算正确的有(ACD)

A.(-7)6a=-42a

B.7(a+b)-8b=7a+15b

C.a-2b+a+2b=2a

D.4(2a+b)=8b+4b;

例5:如图，DABCD的两条对角线相交于点M,且AB=a,AD=b,

用a,b表示MA,MB,MC和MD.

解：在口ABCD中，AC=AB+AD=a+b

DB=AB-AD=a-b

由平行四边形的两条对角线互相平分，得;

平面向量共线定理;

深入研究

思考2:引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗?

易得，实数与向量的积与原向量共线

事实上，对于向量a(a≠0),b,如果有一个实数λ,使b=λa,

那么由向量数乘的定义可知a与b共线.

·反过来，已知向量a与b共线，且向量b的长度是向量a的长度的μ倍，

即同=μla|,那么当a与同方向时，有b=μa;当a与版方向时，

有b=-μa

Ⅲ.向量共线定理：;

深入研究

Ⅲ.向量共线定理：

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯—一个实数λ,使b=λa

意义?根据这一定理，设非零向量a位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量b,都存在唯一的一个实数λ,使b=λa.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.

向量共线定理中为什么规定a≠0?

①若将a≠0去掉，则当a=0时，显然向量a与6共线；

②当a=0,若b≠0,则不存在实数λ,使b=λa成立，此时a与b不共线

③当a=0,若b=0,则对一切的实数入，都有b=λa,与“唯—一个实数λ”矛盾。;

应用新知

例6.如图，已知任意两个非