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圆的标准方程2.4.1圆的标准方程人教A版选择性必修一第二章执教:龙丹芳
1.会推导出圆的标准方程(数形结合思想),并掌握圆的标准方程(重点).2.能根据方程求出圆心及半径.3.能根据圆心、半径写出圆的标准方程,会用待定系数法求圆的标准方程.(难点)
问题1:在直线方程的学习中,我们都研究了哪些问题?平面直角坐标系代数运算
问题2:类比研究直线方程的过程,如何研究圆呢?平面直角坐标系代数运算
问题3:直线方程是如何建立的呢?
圆的定义:平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。基本要素是圆心和半径.AMrxOy形数问题4:在直角坐标系中如何得到圆的方程呢?
xOyA(a,b)Mr(x,y)如图,在直角坐标系中,圆心(点)A的位置用坐标(a,b)表示,半径r的大小等于圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)的距离.建系设点符合上述条件的圆的集合是什么?你能用描述法来表示这个集合吗?限制条件
圆上任意点M(x,y)与圆心A(a,b)之间的距离能用什么公式表示?根据两点间距离公式:则点M、A间的距离为:即:代入化简
回顾1,求圆的标准方程的数学思想方法?形数平面直角坐标系中2,如何得到圆的标准方程?建系设点限制条件代入化简建系设点限制条件代入化简解析思想
是否在圆上的点都适合这个方程?是否适合这个方程的坐标的点都在圆上?圆的标准方程点M(x,y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐标适合方程;反之,若点M(x,y)的坐标适合方程,这就说明点M与圆心的距离是r,即点M在圆心为A(a,b),半径为r的圆上.把这个方程称为圆心为A(a,b),半径长为r的圆的方程,把它叫做圆的标准方程(standardequationofcircle).
例1的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.解:设所求圆的方程为:因为A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,所以它们的坐标都满足方程,于是所以所求圆的方程为
例2.已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上,求圆M的方程.【解】设圆M的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),根据题意得:解得:a=b=1,r=2,故所求圆M的方程为:(x-1)2+(y-1)2=4.
例2.已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上,求圆M的方程.利用圆的几何特征连接线段AB,求出线段AB中点坐标求出线段AB垂直平分线l的方程联立两直线方程,求出交点坐标利用两点距离公式求出圆的半径
例2.已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-2=0上,求圆M的方程.解:线段AB的中点坐标为(0,0)又因为线段AB的垂直平分线斜率为1
1.圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程为当圆心在原点时,a=b=0,圆的标准方程为:2.用待定系数法求圆的标准方程
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