2024-2025学年苏科版初中数学八年级下册课件 9.4.3 正方形.pptxVIP

第9章中心对称图形——平行四边形

9.4.3正方形;

知识点1正方形的定义及其性质

1.正方形的定义

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。;

图形;

图形;

3.特别提醒：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、

菱形的一切性质。

特别提醒：;

2.正方形的特殊性质：

(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；

(2)周长相等的四边形中，正方形的面积最大；

(3)面积为边长的平方或对角线平方的一半.;

例1

如图，正方形ABCD的边长为1cm,AC是对角线，

AE平分∠BAC,EF⊥AC,垂足为F。求BE的长。;

解：∵四边形ABCD是边长为1cm的正方形，AC是对角线，

∴AB⊥BC,AB=BC=1cm,∠ACB=45°。

∵EF⊥AC,∴△EFC是等腰直角三角形.

∴FE=CF。

∵AE平分∠BAC,EF⊥AC,∴BE=FE=CF。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°,;

由勾股定理，得AC=√AB2+BC2=√12+12=√2。

在Rt△ABE和Rt△AFE,∠B=∠AFE=90°,

AE=AE,

BE=FE,

∴Rt△ABE≌Rt△AFE。

∴AF=AB=1cm。∴BE=CF=(√2-1)cm。;

解题秘方：紧扣正方形的性质，从中获取边、角的信息。

解法提醒：

解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线互相垂直平分且相等等性质。正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙。;

图形;

图形;

常见的判定思路：

(1)从四边形出发：①先证明四边形是平行四边形；

②再证明平行四边形是正方形；

(2)从平行四边形出发：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；

(3)从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形；

(4)从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形。;

2.特殊四边形间的关系

四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形间的转化关系如下所示。;

例2

如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°,AC=BD,AC、BD相交于点G,过点A作AE//DB交CB的延长线于点E,过点B作BF//CA交DA的延长线于点F,

AE、BF相交于点H。;

(1)证明：△ABD???△BAC;

证明：在Rt△BAC与Rt△ABD中，

∠ABC=∠BAD=90°,;

(2)证明：四边形AHBG是菱形；

证明：∵AH//GB,BH//GA,

∴四边形AHBG是平行四边形。

∵△ABC≌△BAD,

∴∠BAC=∠ABD。∴GA=GB。

∴平行四边形AHBG是菱形(有一组邻边相等的

平行四边形是菱形)。;

(3)若AB=BC,证明四边形AHBG是正方形。

证明：∵AB=BC,∠ABC=90°,

∴△ABC是等腰直角三角形.∴∠BAG=45°。

∴∠ABG=∠BAG=45°。

∴∠AGB=90°。

∴菱形AHBG是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。;

解题秘方

紧扣正方形的判定方法，先证明四边形是菱形，

再证明有一个角为直角即可得到四边形是正方形。;

思路点拨

(1)根据“HL”即可证明结论；

(2)先证明四边形AHBG是平行四边形，再由(1)中的全等易得GA=GB,从而证明平行四边形AHBG是菱形；

(3)根据“△ABC是等腰直角三角形”,得出∠BAG=45°,

再由(2)可知“∠ABG=∠BAG=45°”,根据三角形的内角和定理易得∠AGB=90°,最后根据判定2即可证明结论。;

—边、角、对角线、对称性

特殊的平行四边形—一组邻边相等且

一个角是直角

特殊的矩形——一组邻边相等

特殊的菱形——一个角是直角;

课后作业

请完成教材课后习题;

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