2018年数学（选修4-5）练习41三个正数的平均值不等式.doc

第4章4.1

一、选择题

1．若实数x，y满足xy＞0且x2y＝2，则xy＋x2的最小值是()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：xy＋x2＝eq\f(1,2)xy＋eq\f(1,2)xy＋x2≥3eq\r(3,\f(1,4)x4y2)＝3eq\r(3,\f(1,4)?x2y?2)＝3.

当且仅当x＝1，y＝2时等号成立．

答案：C

2．下列不等式中正确的是()

A．a＋b≥2eq\r(ab) B．a3＋b3＋c3≥3abc

C．eq\f(a2＋b2,2)≥ab D．eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)

解析：选项A，B，D忽视了a，b，c的条件应为正实数．

答案：C

3．函数f(x)＝x2－eq\f(3\r(2),2x)(x＜0)，则函数f(x)有()

A．最小值3 B．最小值eq\f(3,2)eq\r(3,9)

C．最大值3 D．最大值eq\f(3,2)eq\r(3,9)

解析：∵x＜0，∴－x＞0.

∴f(x)＝x2＋eq\f(3\r(2),－4x)＋eq\f(3\r(2),－4x)≥3eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))2)＝3eq\r(3,\f(9,8))＝eq\f(3,2)eq\r(3,9).

当且仅当x3＝－eq\f(3\r(2),4)时等号成立．

答案：B

4．设三角形三边长为分别3,4,5，P是三角形内的一点，则点P到这个三角形三边距离乘积的最大值是()

A．eq\f(2,15) B．eq\f(16,15)

C．eq\f(8,15) D．eq\f(32,15)

解析：设P到三角形三边距离分别为h1，h2，h3，

∵三角形为直角三角形，S＝eq\f(1,2)·3·4＝6，

∴eq\f(1,2)h1·3＋eq\f(1,2)h2·4＋eq\f(1,2)h3·5＝6.

∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3eq\r(3,60h1h2h3).

∴h1h2h3≤eq\f(64,60)＝eq\f(16,15).

答案：B

二、填空题

5．若x＞0，则函数f(x)＝x＋eq\f(32,x2)的最小值是__________.

解析：∵x＞0，∴f(x)＝x＋eq\f(32,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(32,x2)≥3eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(32,x2))＝6，当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(x,2)＝eq\f(32,x2)，即x＝4时等号成立．

答案：6

6．若x∈R，则f(x)＝eq\f(x4,?1＋x2?3)的最大值为__________.

解析：由于x4＝eq\f(1,2)×2×x2×x2≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2＋2x2,3)))3＝eq\f(4,27)(1＋x2)3，∴f(x)max＝eq\f(4,27)，当且仅当x＝eq\r(2)时，等号成立．

答案：eq\f(4,27)

三、解答题

7．若x，y，z为正数且x2＋y2＋z2＝1，求证：x2yz＋y2zx＋z2xy≤eq\f(1,3).

证明：∵eq\r(3,xyz)≤eq\f(x＋y＋z,3)≤eq\r(\f(x2＋y2＋z2,3))＝eq\f(1,\r(3))，当且仅当x＝y＝z＝eq\f(\r(3),3)时，等号成立，

∴xyz≤eq\f(1,3\r(3))，x＋y＋z≤eq\r(3).

故x2yz＋y2xz＋z2xy≤eq\f(1,3).

8．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求4a＋4b＋4c2的最小值，并求出取最小值时a，b，c

解：显然4a,4b,4c2＞0，则4a＋4b＋4c2≥3eq\r(3,4a＋b＋c2)(当且仅当a＝b＝c2时取等号

∵a＋b＋c＝1，∴a＋b＝1－c.

∴a＋b＋c2＝c2－c＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4).

当c＝eq\f(1,2)时，a＋b＋c2取得最小值eq\f(3,4).

∴当a＝b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,2)时，4a＋4b＋4c2取得最小值，且最小值为3eq\r(2).

一、选择题

1．已知a，b，c∈R＋，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,c)＋\f(c,a)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(c,b)＋\f(a,c)))的最小值为()

A．3 B．1