湖南长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高一下学期3月第一次学情检测数学试卷（含解析）.docx

湖南省长沙麓山国际实验学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．已知，则（

）

A． B．5 C． D．

2．设，则，，则，，的大小关系是（

）．

A． B． C． D．

3．关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）

A． B． C． D．

4．已知点，，．则在上的投影向量为（

）

A． B． C． D．

5．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）

A． B． C． D．

6．为了给地球减负，提高资源利用率，2019年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚，假设某市年全年用于垃圾分类的资金为万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元的年份是（参考数据：，）（

）

A．年 B．年 C．年 D．年

7．已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④(其中为中，角所对的边).则O依次是的

A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心

C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心

8．在直角中，，若点是所在平面内一点，且，则当取到最大值时，（

）

A．1 B． C． D．2

二、多选题

9．设、为复数，则下列说法正确的是（

）

A．若，则 B．

C． D．若，则

10．已知向量，，则下列说法正确的是（

）.

A．若，则 B．若，的值为

C．的取值范围为 D．存在，使得

11．已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（

）

A．的取值范围是

B．若是边上的一点，且，，则的面积的最大值为

C．若三角形是锐角三角形，则的取值范围是

D．若三角形是锐角三角形，平分交于点，且，则的最小值为

三、填空题

12．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是.

13．设复数，，则的取值范围是．

14．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为.

四、解答题

15．设三角形的三个内角A，B，C对边分别是a，b，c，已知，.

(1)求三角形外接圆半径；

(2)若三角形的面积为，求的值.

16．已知向量，满足，.

(1)若，求与的夹角；

(2)若对任意的实数，恒成立，求与的夹角.

17．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C的距离都为5nmile，与小岛D的距离为nmile，为钝角，且.

(1)求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所围成的四边形的面积；

(2)记为，为，求的值.

18．如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．

(1)若，求的值；

(2)若，，求的最小值．

19．设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”.

(1)记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；

(2)设，其中，求的“友向量”模长的最大值；

(3)已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围.

参考答案

1．A

【详解】因为，

所以，

故选：A．

2．B

【详解】，所以有，

因为，所以有，

故选：B

3．A

【详解】关于的一元二次方程有实数解，

则，解得，

结合选项可知的一个必要不充分条件的是.

故选：A.

4．C

【详解】因为，，．

所以，，

，

所以向量与的夹角为钝角，

因此量在上的投影向量与方向相反，

而，，

所以在上的投影向量为，

故选：C

5．B

【详解】因为函数为偶函数，则，可得，

因为函数为奇函数，则，所以，，

所以，，即，

故函数是以为周期的周期函数，

因为函数为奇函数，则，

故，其它三个选项未知.

故选：B.

6．C

【详解】设后第年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿元，

因为该市年全年用于垃圾分类的资金为万元，每年投入的资金比上一年增长，

所以后第年该市全年用于垃圾分类的资金为，

由已知

所以，

两边取常用对数可得

又，

所以.

所以后第年，即年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过亿.

故选：C.

7．B

【详解】对于①，因为①，

所以点O到点的距离相等，

即点O为的外心;

对于②，因为，

所以，

所以，

即，同理，

即点O为的垂心;

对于③，因为，

所以，

设D为的中点，则，

即点O为的重心;

对于④，因为，

故，整理得.

又，

所以.因为分别为，方向的单位向量，故与的角平分线共线.同理与的角平分线共线，与的角平分线共线.故点O为的内心.

故选：B

8．B

【详解】如图，以为轴建立平面直角坐标系，

由于，则，

则，

而，即有,

故，

因为，，当且仅当，即时取等号，

故当时，取到最大值，

故选：B

9．BC

【详解】对于A选项，取，，则，A错；

对于B选项，设，，

则，

所以，，B对；

对于