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中职数学数列的概念

[知识整合]

基础知识

1．数列的概念

按照一定次序排列的一列数，叫作数列．在数列中的每一个数都叫作这个数列的项，各项依次叫这个数列的第一项(或首项)，第二项，…，第n项，数列的一般形式写成：a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．

注意：①同一个数在数列中可以重复出现；②数列中的数按一定次序排列，两个数列数的排列顺序不同不是相同数列；③数列中的项与项数是不同的．

2．数列的通项公式

用项数n来表示该数列相应项的公式，叫作数列的通项公式．由此可知，数列的通项公式是以正整数集的子集为其定义域的函数，可记为an＝f(n)(n∈A，A?N*)．

注意：数列的通项公式在形式上不唯一，例如数列1，－1，1，－1，…，其通项公式可以写成an＝(－1)n＋1或an＝(－1)n－1，还可写成an＝cos(n＋1)π.

3．数列的前n项和：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.

数列通项公式an与前n项和Sn的关系：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2，n∈N*）.)))

注：在求通项公式形如eq\f(1,n（n＋1）)的数列的前n项和的时候，可把数列的通项拆成两项之差：eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

4．数列的递推公式

用含有数列前面若干项的表达式来表示后面的某一项的公式，称为数列的递推公式，如an＋1＝2an＋1.

已知首项和递推公式，实际上也确定了数列．

5．数列的分类

按项数分：有穷数列(项数有限)、无穷数列(项数无限)．

按项与项的大小分：递增数列(anan＋1)、递减数列(anan＋1)、常数列、摆动数列．

常数列：数列的所有项都是同一个常数．

基础训练

1．已知数列{an}的通项公式是an＝3n－1，则a7＝()

A．20B．21C．23D．24

2．已知数列{an}的前4项分别为：4，7，10，13，则数列的通项公式an＝()

A．2nB．2n＋1C．3nD．3n＋1

3．已知数列eq\r(2)，eq\r(5)，2eq\r(2)，eq\r(11)，…，eq\r(3n－1)，则4eq\r(2)是这个数列的()

A．第10项B．第11项C．第12项D．第13项

4．若数列的通项公式为an＝n(n＋1)，则72是这个数列的()

A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项

5．观察下列数列，填空．

(1)0，1，4，9，()，…；(2)－1，－1，－1，()，…；

(3)0，3，0，3，()，…；(4)2，4，()，16，….

[重难点突破]

考点1数列的通项公式

例1已知一个数列的通项公式是an＝n(n－1)，那么前4项分别是____________．

【解析】把n＝1，2，3，4代入通项得0，2，6，12.

【变式训练】数列的通项公式为an＝neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))，则380在这个数列中的项数为()

A．20B．19C．18D．21

例2在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,an－1)＋1，则a3等于()

A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C．1D．2

【解析】a2＝eq\f(1,a1)＋1＝1＋1＝2，a3＝eq\f(1,a2)＋1＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2)，故选B.

【变式训练】已知数列{an}满足a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1＋an，求a4.

例3根据下面数列前4项的值，写出数列的一个通项公式．

(1)9，99，999，9999…；(2)1，11，111，1111，…；(3)1，－1，1，－1，…；(4)1，－2，3，－4，…；

(5)－eq\f(1,1·2)，eq\f(1,2·3)，－eq\f(1,3·4)，eq\f(1,4·5)，….

【解】(1)由观察可得：an＝10n－1；

(2)联想到数列9，99，999，…的通项公式，an＝10n－1，所以1，11，111，1111，…的通项公式an＝eq\f(1,9)