职教高考数学等差数列的性质讲练结合.docxVIP

中职数学等差数列的性质

[知识整合]

基础知识

1．等差中项

若三个数a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．根据等差数列的概念，A－a＝b－A，可以得到A＝eq\f(a＋b,2)，反之，如果A＝eq\f(a＋b,2)，那么A是a与b的等差中项．即“A＝eq\f(a＋b,2)”是“a，A，b”成等差数列的充要条件．

在一个等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项．在解题中，若三个数成等差数列，我们常设这三个数为a－d，a，a＋d，这样有利于解题．

2．等差数列的性质

(1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(2)数列{an}是等差数列的充要条件是：an＝an＋b，Sn＝cn2＋dn.(a，b，c，d∈R是常数)

(3)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成一个新的等差数列．如a1，a3，a5，…仍然是等差数列．

(4)在等差数列中，每连续m项之和构成的数列仍然是等差数列．如a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6仍然是等差数列．

推论：若Sn是等差数列的前n项和，则数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也构成等差数列．

基础训练

1．数列{an}为等差数列，a3＝7，d＝－1，则an等于()

A．8－nB．10－nC．12－nD．2－n

2．等差数列{an}中，a3＝5，a7＝11，则a11＝()

A．16B．17C．18D．19

3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3＋a7＝10，则S9＝()

A．45B．50C．55D．90

4．等差数列{an}中，a4＝18，a11＝32，则d＝____________，Sn＝____________．

5．在等差数列{an}中，已知a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝____________．

[重难点突破]

考点1等差中项及等差数列的性质

例1如果在等差数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a3＋a4＋a5＝6，那么a1＋a7＝()

A．2B．4C．6D．8

【解析】由等差中项知a3＋a4＋a5＝3a4，a1＋a7＝2a4，则a4＝2，a1＋a7＝4.故选B.

【变式训练】已知数列{an}为等差数列，且a1＝1，a3＝17，则log3a2＝()

A．2B．3C．6D．9

例2等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝15，求a3及S5.

【解】∵a1＋a5＝a2＋a4＝2a3，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15，a3＝3.∴S5＝eq\f(5（a1＋a5）,2)＝5a3＝15.

【变式训练】在等差数列{an}中，a3＋a6＋a9＝6，则S11＝()

A．22B．23C．44D．45

例3设公差为－2的等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99.

【解】∵a1＋a4＋a7…＋a97＝33a49＝50，∴a49＝eq\f(50,33)，

∵等差数列{an}的公差为－2，∴a51＝a49＋(－2)×2＝－eq\f(82,33)，

又∵a3＋a6＋a9…＋a99＝33a51，∴a3＋a6＋a9…＋a99＝－82.

【变式训练】在等差数列{an}中，已知公差为eq\f(1,2)，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝60，则a1＋a2＋…＋a100等于()

A．120B．145C．150D．170

例4在等差数列{an}中，S3＝6，S6＝14，求S9.

【解】∵等差数列的前n项和为Sn，∴S3＝a1＋a2＋a3，S6－S3＝a4＋a5＋a6，S9－S6＝a7＋a8＋a9，…也构成等差数列，即(S9－S6)＋S3＝2(S6－S3)，解得S9＝24.

反思提炼：

在等差数列中，前n项和Sn有以下性质：数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也是等差数列．

【变式训练】在等差数列{an}中，已知S4＝1，S8＝4，求