2024_2025学年新教材高中数学基础练55简单的三角恒等变换一含解析新人教A版必修第一册.docVIP

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简洁的三角恒等变换(一)

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．已知sin2α＝eq\f(1,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝()

A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)

【解析】选D.cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,2))),2)＝eq\f(1＋sin2α,2)＝eq\f(2,3).

2．已知α∈(π，2π)，则eq\r(\f(1－cos（π＋α）,2))等于()

A．sineq\f(α,2)B．coseq\f(α,2)C．－sineq\f(α,2)D．－coseq\f(α,2)

【解析】选D.因为α∈(π，2π)，所以eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，

所以eq\r(\f(1－cos（π＋α）,2))＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2).

3．在△ABC中，若cosA＝eq\f(1,3)，则sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A＝()

A．－eq\f(1,9)B．eq\f(1,9)C．－eq\f(1,3)D．eq\f(1,3)

【解析】选A.sin2eq\f(B＋C,2)＋cos2A＝eq\f(1－cos（B＋C）,2)＋2cos2A－1＝eq\f(1＋cosA,2)＋2cos2A－1＝－eq\f(1,9).

4．化简eq\r(2＋cos2－sin21)的结果是()

A．－cos1 B．cos1

C．eq\r(3)cos1 D．－eq\r(3)cos1

【解析】选C.原式＝eq\r(2＋1－2sin21－sin21)＝eq\r(3－3sin21)＝eq\r(3（1－sin21）)＝eq\r(3cos21)＝eq\r(3)cos1.

5．若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)，则sinθ＝()

A．eq\f(3,5)B．eq\f(4,5)C．eq\f(\r(7),4)D．eq\f(3,4)

【解析】选D.方法一：由θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))可得2θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(1,8)，sinθ＝eq\r(\f(1－cos2θ,2))＝eq\f(3,4).

方法二：由θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))及sin2θ＝eq\f(3\r(7),8)可得sinθ＋cosθ＝eq\r(1＋sin2θ)＝eq\r(1＋\f(3\r(7),8))＝eq\r(\f(16＋6\r(7),16))＝eq\r(\f(9＋6\r(7)＋7,16))＝eq\f(\r(7),4)＋eq\f(3,4)，

而当θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时sinθcosθ，

结合选项即可得sinθ＝eq\f(3,4)，cosθ＝eq\f(\r(7),4).

【补偿训练】

已知sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝eq\f(4,5)，且β是第三象限角，则coseq\f(β,2)的值等于()

A．±eq\f(\r(5),5)B．±eq\f(2\r(5),5)C．－eq\f(\r(5),5)D．－eq\f(2\r(5),5)

【解析】选A.由已知得sin