2024年新教材高中数学第八章立体几何初步5.2直线与平面平行学案新人教A版必修第二册.docVIP

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直线与平面平行

在生活中，留意到门扇的两边是平行的，当门扇围着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．

【问题1】门扇转动的一边与门框所在的直线有什么关系？

【问题2】能用数学语言证明你看到的现象吗？

【问题3】一条直线与一个平面平行，怎样在平面内作一条直线与该直线平行？

1．直线与平面平行的判定定理

(1)定理：假如平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；

(2)符号：a?α，b?α，且a∥b?a∥α；

(3)本质：线线平行?线面平行，空间问题转化为平面问题．

(4)应用：判定直线与平面平行．

假如一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面肯定平行吗？

提示：不肯定，该直线可能在平面内．

2．直线与平面平行的性质定理

(1)定理：一条直线与一个平面平行，假如过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行；

(2)符号：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；

(3)本质：线面平行?线线平行，直线与平面平行中蕴含直线与直线平行；

(4)应用：作平行线的一种方法．

一条直线与一个平面平行，该直线与此平面内随意直线平行吗？

提示：不是，可能是异面直线．

1.假如一条直线上有多数个点在平面外，那么该直线肯定与平面平行吗？

2．假如一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线的位置关系是怎样的？

3．假如两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线肯定平行吗？

提示：1.不肯定，也可能相交；2.平行或异面；3.不肯定．

视察教材P137图8.5－7，假如点E，F分别是AB，AD靠近点A的三等分点，那么EF与平面BCD是什么关系？

提示：平行．

1．假如两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是()

A．相交B．b∥α

C.b?αD．b∥α或b?α

【解析】选D.由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.

2．如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面ABCD和平面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有()

A.4个B．3个C．2个D．1个

【解析】选A.如图，连接AC，A′C′，BD，B′D′，则由题意可得EF∥AA′∥CC′，

又EF?平面AA′D′D，EF?平面CC′D′D，EF?平面BB′C′C，EF?平面AA′B′B，

所以EF∥平面AA′D′D，EF∥平面CC′D′D，EF∥平面BB′C′C，EF∥平面AA′B′B，

则正方体的六个面中与EF平行的平面有4个．

基础类型一直线与平面平行的判定(逻辑推理)

1．(2024·哈尔滨高一检测)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满意A1F∥平面BD

A．0B．1C．2D．3

【解析】1.选B.①中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1

②中，由于A1F∥D1E，而A1F?平面BD1E，D1E?平面BD1E，故A1F

③中，平移A1F至D1F′，可知D1F′与面BD1E只有一个交点D1，则A1

2．(2024·北京高一检测)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E，F分别为棱AB，BC，C1B1

(1)求证：AC∥平面B1DE；

(2)求证：AF∥平面B1DE.

【解析】2．(1)在△ABC中，D，E分别为棱AB，BC中点．所以DE∥AC，

因为DE?平面B1DE，AC?平面B1DE，

所以AC∥平面B1DE.

(2)如图，连接BF交B1E于G，连接DG.

因为点E，F分别是BC，B1C1

所以B1FEC，所以四边形ECFB1是平行四边形，

所以B1E∥FC，因为点E是BC的中点，

所以点G是BF的中点，

又因为D是AB中点，所以DG∥AF，

因为AF?平面B1DE，DG?平面B1DE，

所以AF∥平面B1DE.

关于线面平行的判定

(1)充分利用平面图形中的平行关系，如三角形中，中位线平行于底边，平行四边形对边平行，梯形的两底平行等．

(2)连接平行四边形的对角线是常作的协助线，因为平行四边形的对角线相互平分，可以得到中点从而构造平行关系．

(3)书写步骤时肯定要注明面外直线，面内直线，避开步骤扣分．

基础类型二直线与平面平行的性质(逻辑推理)

【典例】(2024·六安高一检测)如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形．求证：AB∥平面EFGH.

【证明】因为四边形EFGH为平行四边形，

所以EH∥FG；因为EH?平面ABD，FG?平面ABD，所以EH∥平面ABD；

又因为EH?平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，所以EH∥