4.5 函数应用（二）（知识解题 达标测试）（解析版）.docx

4.5函数应用（二）

【考点1：函数的零点】

【考点2：函数的零点区间】

【考点3：函数的零点个数】

【考点4：二分法】

【考点5：分式型函数模型的应用】

【考点6：指数函数模型的应用】

【考点7：对数函数模型的应用】

知识点1：函数零点的概念

1、函数零点的概念

对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

几何定义:函数的零点就是方程的实数解,也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标.?

这样：方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点

2、已学基本初等函数的零点

①一次函数只有一个零点；

②反比例函数没有零点；

③指数函数（且）没有零点；

④对数函数（且）只有一个零点1；

⑤幂函数当时，有一个零点0；当时，无零点。

知识点2：函数零点存在定理及其应用

1、函数零点存在定理

如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程

的解.

说明：定理要求具备两个条件:①函数在区间上的图象是连续不断的;②.两个条件缺一不可.

2、函数零点的求法

①代数法：根据零点定义，求出方程的实数解;

②数形结合法：作出函数图象，利用函数性质求解

3、函数零点个数的判断

①利用代数法，求出所有零点；

②数形结合，通过作图，找出图象与轴交点的个数；

③数形结合，通过分离，将原函数拆分成两个函数，找到两个函数图象交点的个数；

④函数零点唯一：函数存在零点+函数单调.

知识点3：二次函数的零点问题

一元二次方程的实数根也称为函数的零点.

当时，一元二次方程的实数根、二次函数的零点之间的关系如下表所示：

的实数根

（其中）

方程无实数根

的图象

的零点

函数无零点

知识点4：区间中点

对于区间，其中点

知识点5：二分法

1、二分法的概念

对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection)

2、用二分法求零点的近似值

给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的一般步骤如下：

（1）确定零点的初始区间，验证；

（2）求区间的中点

（3）计算;

①若（此时)，则就是函数的零点；

②若（此时)，则令；

③若（此时)，则令；

（4）判断是否达到精确度，若，则得到零点近似值(或)，否则重复2--4

知识点6：常见函数模型

1、一次函数模型（，为常数）

2、反比例函数模型（）

3、二次函数模型（）

4、指数函数模型（且，）

5、对数函数模型（且，）

6、幂函数模型（，）

7、分段函数模型：两种或两种以上上述六种模型的综合

8、对勾函数模型：

【考点1：函数的零点】

【典例1】函数的零点是（????）

A． B．1，2 C． D．

【答案】D

【分析】利用零点定义解方程可得结论.

【详解】令，解得，

由零点定义可得函数的零点是.

故选：D

【变式1-1】多选题函数的零点为（???）

A． B．1 C． D．3

【答案】BD

【分析】由方程直接求函数零点即可.

【详解】由，得或.

所以函数的零点为1和3.

故选：BD

【变式1-2】函数的零点为.

【答案】2

【分析】先解方程，由函数零点定义可知方程的根即为函数零点.

【详解】解方程得，

所以函数的零点为2.

故答案为：2.

【变式1-3】函数的零点是．

【答案】2

【分析】利用零点的定义直接解方程即可.

【详解】令，解之得，

所以函数的零点是2.

故答案为：

【考点2：函数的零点区间】

【典例2】函数的一个零点所在的区间是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】求出与，根据零点存在定理即可求解.

【详解】由题意得，，

则函数的一个零点所在的区间是.

故选:C.

【变式2-1】已知函数，则函数的零点所在区间为（???）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】数形结合，再由零点存在性定理即可直接判断.

【详解】如图：作出与的图象，两图象只有一个交点，即有且只有一个零点，

，

所以，且在上是连续函数，故的零点在上，

故选：C.

【变式2-2】若为函数的零点，则所在区间为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用对数函数与一次函数的单调性判断的单调性，再利用零点存在定理即可得解.

【详解】由于在上均单调递增，

故在上单调递增，

又，

故在上有唯一零点，即.

故选：B.

【变式2-3】函数的零点所在的区间是（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的单调性和零点存在性定理即可判断.

【详解】因和都是上的增函数，故也是上的增函数，

又，由零点存在定理，可得函数的零点所在的区间是.

故选：B.

【考点3：函数的零点个数】

【典例3】已知函数的图象与直线恰有2个公