5.1 弧度制与任意角的三角函数（讲）【解析版】.docx

5.1弧度制与任意角的三角函数

角的定义

平面内一条射线绕着端点从一位置旋转到另一个位置所形成的的图形叫做角；射线的端点叫做角的顶点，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边

角的分类

按照角终边的位置可分为（象限角和轴线角）

按照选择方向可分为（正角（逆时针选择）、负角（顺时针选择）和零角（不旋转））

象限角

第Ⅰ象限角：，或，

第Ⅱ象限角：，

第Ⅲ象限角：，

第Ⅳ象限角：，

或，

轴线角

终边落在轴正半轴上：，

终边落在轴负半轴上：，

终边落在轴正半轴上：，

终边落在轴负半轴上：，

终边落在轴上：，，终边落在轴上：，

终边落在坐标轴上：，，终边落在上：，

终边落在上：，或：，

终边相同的角

与终边相同的角的集合为：，

角度与弧度的关系

，

扇形的弧长、周长及面积公式

角度制

弧度制

弧长公式

面积公式

周长公式

是扇形的半径，是圆心角的度数

是扇形的半径，是圆心角弧度数，是弧长

三角函数的定义

，正弦线：

，余弦线：

，正切线：

三角函数在各象限内的符号

特殊角的三角函数值

度

弧度

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

不存在

0

不存在

0

两角互余的三角函数关系

互余，，

已知，则：

两角互补的三角函数关系

互补，，，

已知，则：，

三角混合不等式

，

考点1终边相同的角

【例1】与终边相同的角的表达式中，正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据角度的表示方法分析判断AB，根据终边相同的角的定义分析判断CD.

【详解】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．

与终边相同的角可以写成的形式，

时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．

故选：D．

【变式1-1】下列与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据终边相同角的定义即可求解.

【详解】角用弧度制表示为，B、D错误；

终边相同应加上，故C错误．

故选：A．

【变式1-2】下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据终边相同的角的表示方法，以及角度和弧度的用法要求，分别判断各选项，可得答案.

【详解】对于A，B，，中角度和弧度混用，不正确；

对于C，因为与是终边相同的角，

故与角的终边相同的角可表示为，C正确；

对于D，，不妨取，则表示的角与终边不相同，D错误，

故选：C

【变式1-3】下列各角中与角的终边相同的是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出与角的终边相同的角为，，即可得出正确答案.

【详解】与角的终边相同的角为，

当时，，B正确；

将A，C，D代入，，得出均不是整数，

即其他三个选项均不合要求.

故选：B

考点2象限角

【例2】设是第一象限的角，则所在的象限为（????）

A．第一象限 B．第三象限

C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限

【答案】C

【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解.

【详解】因为是第一象限的角，

所以，，

所以，

当时，，为第一象限角；

当时，，为第三象限角.

故选：C

【变式2-1】是（????）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】A

【分析】根据终边相同角的概念可求解.

【详解】，

与终边相同，所以是第一象限角．

故选：A.

【变式2-2】的终边在（????）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】应用终边相同的角即可求解.

【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.

故选：A．

【变式2-3】已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再对分类讨论，即可得解.

【详解】解：因为角的终边与的终边重合，

所以，，所以，，

令，则，此时的终边位于第二象限；

令，则，此时的终边位于第三象限；

令，则，此时的终边位于第四象限．

所以的终边不可能在第一象限，

故选：A．

考点3角度和弧度的互化

【例3】化为角度是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据弧度化角度公式直接求解即可.

【详解】.

故选：B

【变式3-1】把化成角度制是（????）

A．36° B．30° C．24° D．12°

【答案】A

【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解即可.

【详解】由角度制与弧度制的互化知，，

所以，

故选：A

【变式3-2】将210°化成弧度为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据角度与弧度的关系求解即可.

【详解】，

故选：D.

【变式3-3】