2025中考数学权威预测热点必刷题04图形的变化综合选填压轴55题（5类题型55题）（含答案解析）.docxVIP

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热点必刷题05几何综合解答题压轴50题

TOC\o1-3\h\u一、翻折综合问题 2

二、旋转综合问题 27

三、平移综合问题 83

四、创新探究问题 102

五、其他压轴综合问题（含圆与最值） 133

一、翻折综合问题

1．（2024·四川广元·一模）在正方形中，，分别为，上两点，连接，，将沿翻折，得到，连接，且．

(1)如图1，求证：；

(2)如图2，对角线交于点，连接，，若点落在上，求证：四边形为菱形；

(3)如图3，若为的中点，连接交于点，连接，，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

【分析】此题重点考查正方形的性质与几何翻折变换，结合了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识．

（1）结合翻折和正方形的性质以及，得出，再证明即可；

（2）先证，得出，再证即可；

（3）设，交于点，正方形的边长为，得出，再利用得出，再利用得出，，得出，利用三角函数求解即可．

【详解】（1）证明：如图1，设，交于点，由折叠的性质可得，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵四边形是正方形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）由折叠，得，，，，，

∵，

∴，

∴，

如图2，设，交于点O，

由正方形的性质可得，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴四边形为菱形；

（3）如图3，设，交于点，正方形的边长为，

∵为的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

由折叠的性质可得，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴．

2．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图1，中，，，点D是边的中点，点E是射线上一动点，将沿翻折至．

(1)______；______；

(2)当点E在线段上运动时．

①当点落在上时，求的长；

②当时，求的长；

(3)如图2连接，整个运动过程中，当时，直接写出的长．

【答案】(1)，

(2)①；②或

(3)或

【分析】（1）根据，设，则，，在中，由勾股定理得出，可求出，，，然后利用勾股定理求出，利用正切的定义求出即可；

（2）①过D作于N，过B作于N，则，由平行线的性质得出，由翻折的性质得出，，利用等腰三角形三线合一的性质得出，，进而得出，利用平行线的判定与性质和等角对等边得出即可；

②分在上方和在下方两种情况讨论，证明，然后利用相似三角形的性质求解即可；

（3）分在上方和在下方两种情况讨论，利用三角形面积公式可求出，在中，利用正切的定义和特殊角的三角函数值求出的度数，结合翻折可求出的度数，在和中，设，利用正切的定义可求出，，结合，可得出关于x的方程，解方程即可求解．

【详解】（1）解∶过C作于G，

∵，

∴，

设，则，，

在中，，

∴，

解得，

∴，，，

∴，，

故答案为：，；

（2）解：①过D作于N，过B作于N，

∴，

∴，

∵沿翻折至，点落在上，

∴，

∵D为的中点，

∴，

∴，

又，

∴，

同理，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②设，则，

当在下方时，

取中点O，连接，设与相交于M，

则，，

∵，

∴，

∴，，

又，

∴，

∴，

∴，，

即，，

解得，，

∵，

∴，

解得，

即；

当在上方时，

取中点O，连接，延长与相交于M，

同理可证，

∴，，

即，，

解得，，

∴，

解得，

即；

综上，的长为或；

（3）解：当在下方时，过作于M，过E作于N，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵翻折，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

设，则，，

∴，

∴

∵，

∴；

在上方时，过作于M，过E作于N，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵翻折，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

设，则，，

∴，

∴

∵，

∴；

综上，的长为或．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．

3．（2024·四川南充·三模）如图，在菱形中，，，点，分别在，边上，将沿直线翻折，得对应．

(1)如图，若点与重合，且，与交于点，与交于点，求证：；

(2)如图，若点刚好落在的中点处，求的值；

(3)如图，若点为的中点，求的最小值．

【答案】(1)证明见解析；

(2)；

(3)．

【分析】（）连接，由折叠性质得：，，得出，再由菱形的性质得，再证明垂直平分即可；

（）连接，，过作交延长线于点，过作于点，根据勾股定理和解直角三角形即可求解；

（）连接，，由为的中点，则，因而有点在以为圆心，为半径的圆上，又四边形是菱形，则，证明是等边三角形，故有，当三点共线时，最小，最后由勾股定理即可求解．

【详解】（1）如图，连接，

∵，

∴，

由折叠性质得：，，

∴，

∴，

∵四边形是菱形