2025中考数学权威预测热点题型·专题04 二次函数与二次函数中的代几综合问题（解析版）.docxVIP

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专题04二次函数与二次函数中的代几综合问题

目录

TOC\o1-3\h\u热点题型归纳 1

题型01二次函数的图象及其应用 1

题型02二次函数与系数、参数范围 11

题型03二次函数中x、y的范围 43

题型04二次函数中的证明问题 57

题型05二次函数中几何综合问题 64

中考练场 85

题型01二次函数的图象及其应用

二次函数的图象及其应用（选填题）是初中数学里函数知识板块中借助函数图象考查学生对二次函数理解与运用能力的关键内容，在中考中分值占比约3%-7%。

1.考查重点：重点考查通过观察二次函数图象获取信息，如函数的性质、与坐标轴的交点等，并运用这些信息解决实际问题或进行相关计算。

2.高频题型：以选择题和填空题呈现，常给出二次函数图象，要求判断函数性质、判断大小关系、确定系数符号、求解函数值或根据实际情境选择合适的函数图象等。

3.高频考点：涵盖二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点，以及利用函数图象解决实际问题中的最值、方案选择等考点。

4.能力要求：学生需具备较强的数形结合能力，能够从图象中准确提取关键信息，运用二次函数的基本性质进行推理和计算，还要能将实际问题转化为二次函数图象问题求解。

5.易错点：容易误判图象特征与函数性质的对应关系，在利用图象解决实际问题时，对题意理解不准确，忽略实际问题中的限制条件。

【提分秘籍】

1.快速识别图象关键信息

开口方向与大小：观察二次函数图象的开口方向，若开口向上，二次项系数a0；开口向下，则a0。

对称轴位置：顶点坐标：与坐标轴交点：

2.巧用函数性质解题

增减性与对称性：根据开口方向和对称轴确定函数增减性。开口向上时，在对称轴左侧函数单调递减，右侧单调递增；开口向下则相反。函数值比较：当需要比较函数值大小时，可根据函数增减性。若两点在对称轴同侧，直接根据增减性判断；若在两侧，利用对称性转化到同侧再比较。

【典例分析】

例1．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（????）

A．或4 B．或 C．或4 D．或4

【答案】D

【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．

【详解】解：二次函数的对称轴为：直线，

（1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大，

当时，取得最小值，

，

；

（2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小，

当时，取得最小值，

，

．

故选：D．

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．

例2．（2023·浙江宁波·中考真题）已知二次函数，下列说法正确的是(???)

A．点在该函数的图象上

B．当且时，

C．该函数的图象与x轴一定有交点

D．当时，该函数图象的对称轴一定在直线的左侧

【答案】C

【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．

【详解】解：∵，

当时：，

∵，

∴，

即：点不在该函数的图象上，故A选项错误；

当时，，

∴抛物线的开口向上，对称轴为，

∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，

∵，，

∴当时，有最大值为，

当时，有最小值为，

∴，故B选项错误；

∵，

∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；

当时，抛物线的对称轴为：，

∴该函数图象的对称轴一定在直线的右侧，故选项D错误；

故选C．

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．

例3．（2022·浙江温州·中考真题）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（????）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解．

【详解】解：当时，画出图象如图所示，

根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确；

当时，画出图象如图所示，

根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误；

故选：D

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键．

例4．（2023·浙江台州·中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（????）．

A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限

【答案】D

【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．

【详解】解：抛物线与直线交于，两点，

，

．

，

∵，

．

当，时，直线经过第一、三、四象限，

当，时，直线经过第一、二、四象限，

综上所述，一定经过一、四象限．

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系