2025中考数学权威预测热点题型·专题07 三角形中的证明与计算问题（解析版）.docxVIP

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专题07三角形中的证明与计算问题

目录

TOC\o1-2\h\u热点题型归纳 1

题型01三角形全等的判定及性质应用 1

题型02相似三角形的判定及性质应用 8

题型03结合全等与相似进行三角形中的线段的计算 12

中考练场 21

题型01三角形全等的判定及性质应用

三角形全等的判定及性质应用是初中数学几何领域的核心内容，是解决三角形相关问题、推导几何结论的关键工具，在中考数学中分值占比约5%-10%。

1.考查重点：重点考查依据不同几何情境，精准选择全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）证明三角形全等，并熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，进行线段和角度的证明与计算。

2.高频题型：高频题型包含直接给定三角形的部分条件，要求证明两个三角形全等；利用全等三角形性质，证明线段相等、角相等或计算线段长度、角度大小；在复杂图形中，通过添加辅助线构造全等三角形，解决几何问题。

3.高频考点：考点集中在全等三角形判定定理的灵活运用，全等三角形性质在证明线段、角度关系及计算中的应用，全等三角形与其他几何图形（如四边形、圆）的综合考查，以及全等三角形在实际问题（如测量距离）中的运用。

4.能力要求：要求学生具备较强的逻辑推理能力，能够根据已知条件合理规划全等证明路径；拥有敏锐的图形观察能力，从复杂图形中识别全等三角形；掌握辅助线添加技巧，通过构造全等三角形突破解题难点；同时具备将实际问题转化为数学模型的能力。

5.易错点：易错点在于判定三角形全等时，错用判定条件，如误将“SSA”当作判定依据；在运用全等三角形性质时，对应关系混淆，导致线段、角度计算错误；添加辅助线时缺乏针对性，无法有效构造全等三角形；在综合问题中，不能充分挖掘隐含条件，影响全等证明及后续计算。

【提分秘籍】

全等三角形的判定：

①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。

②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。

③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。

④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。

全等三角形的性质：

对应边相等、对应角相等、对应线段（高、中线、角平分线等）相等

【典例分析】

例1．（2022·广东广州·中考真题）如图，点D，E在△ABC的边BC上，∠B=∠C，BD=CE，求证：△ABD≌△ACE

【答案】证明见解析

【分析】由等腰三角形的判定得出AC=AB，再利用SAS定理即可得出结论．

【详解】证明：∵∠B=∠C，

∴AC=AB，

在△ABD和△ACE中，

∵AB=AC，∠B=∠C，BD=CE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

【点睛】本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

例2．（2022·广东·中考真题）如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：．

【答案】见解析

【分析】根据题意，用AAS证明．

【详解】证明：∵，

∴为的角平分线，

又∵点P在上，，，

∴

又∵（公共边），

∴．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键．

例3．（2023·广东广州·中考真题）如图，B是的中点，，.求证：．

??

【答案】见解析

【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到．

【详解】证明：∵B是的中点，

∴，

∵，

∴，

在和中，

∴，

∴．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

【变式演练】

1．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，于点，??于点，、相交于点，求证：．

【答案】见解析

【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键．

先通过题干的垂直得到，再通过即可得证．

【详解】证明∵

∴

∵

∴．

2．（2024·广东·模拟预测）如图，在四边形中，，是的平分线．求证：．

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．首先由角平分线的概念得到，然后由角角边即可证得．

【详解】证明：∵是的平分线，

，

在和中，

，

．

3．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，已知，E，F分别是的中点，，．求证：．

【答案】见解析

【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，根据证明即可得出结论；

【详解】证明：∵，E，F分别是的中点，

∴．

在和中，

∴．

∴．

4．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在中，，于点，于点