2024年中考数学压轴题专项训练：和长度有关的最值（含解析）.pdfVIP

和长度有关的最值

1.如图，一只螳螂在树干的点A处，发觉它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂捕到这只虫子，但又怕

被发觉，于是就绕到虫子后面吃掉它，已知树干的半径为10CM,A，3两点的距离为45cm,求螳螂爬行

的最短距离（口取3）.

【解析】解：将圆柱形树干的侧面如图所示绽开，依据两点之间线段最短，可得AB即为螳螂爬行的最短距

离

AF=2几X10心60cm,BF=45cm

222

；•AB=y/AF^+BF=A/60+45=75cm

答：螳螂爬行的最短距离为75cm.

2.如图，在处△ABC中，ABC=90，NBAC的平分线AD交5c于。；若DB=3，点P为AC边

上的动点，求。尸长度的最小值.

【解析】解：由点P是AC上的动点，要使DP的长度最小，依据点到直线垂线段最短,

.-.DP±AC,如图所示:

A

：AD平分/BAC,ZABC=90°,

；.BD=DP,

VBD=3,

/.DP=3,

即DP的最小值为3.

3.如图，AABD是边长为2的等边三角形，点C为AB下方的一动点，ZACB=90°.

(1)若NA5C=30°，求CD的长；

(2)求点。到A5的最大距离；

(3)当线段CD的长度最大时，求四边形ACBD的面积.

【解析】(1)是等边三角形，ZDBA=6Q°

又ZABC=30°

.-.ZDBC=90°

•；NAC3=90°,AB=2

22

=AB=2,AC=gAB==72-l=如

2

:.CD=VfiC+BD-=V3+4=A/7；

⑵取AB的中点E，连接CE

:ZACB=90°,AB=2,

CE=-AB=\.

2

又点C为AB下方的一动点，

,当A3时，点。到A3的距离最大为1

(3)连接DE

ABD为等边三角形，

..DE±AB.

BD=AB=2

DE=y/BD-BE=^/4^1=G

依据三角形三边关系CDCE+DE=1+V3

即C,。,石共线时，CD最大,

.•.CD的最大长度为1+G

此时CD,AB,四边形ABC。的面积为gA3.CD=gx2(l+G)=l+6.

4.已知抛物线丁=。(％-1)(X-3)(。片0)与丁轴交于点0,且00=3.

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)若”(石，弘)，N(5,%)均在该抛物线上，且为＜为，求点横坐标七的取值范围;

(3)点尸为抛物线在直线3C下方图象上的一动点，当AP5C面积最大时，求点P的坐标.

【解析】解：⑴把(0,3)代入y=a(x—l)(x—3),

即3a=3,解得：a=l,

故抛物线的表达式为：y=f—4%+3,

12

y=x-4x+3=(x-2)-1

则顶点。(2,-1).

(2)由(1)知抛物线的对称轴％=2,

所以点N关于x=2对称点2(-1,y)在抛物线上

2

；%%%的取值范围为T%5

(3)令y=0,即y=f-4彳+3=0,

解得xi=l,X=3,