平面向量的正交分解及坐标表示633平面向量加减运算的坐标表示634平面向量数乘运算的坐标表示课件-高一下学期数学人教A版.pptx

平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示平面向量数乘运算的坐标表示

「学习目标」1.借助平面直角坐标系及平面向量基本定理,学会平面向量的坐标表示,体会数学抽象及直观想象的核心素养.2.通过平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示及平面向量共线的坐标表示,发展逻辑推理及数学运算的核心素养.

知识梳理自主探究

「知识探究」1.平面向量的坐标表示(1)平面向量的正交分解:把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量.(2)基底:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.(3)坐标:对于平面内的任意一个向量a,有且仅有一对实数x,y,使得a=xi+yj,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标.

(4)坐标表示:a=(x,y).(5)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).2.平面向量加减运算、数乘运算的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:

项目文字描述符号表示加法两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和a+b=(x1+x2,y1+y2)减法两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差a-b=(x1-x2,y1-y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标λa=(λx1,λy1)向量的坐标一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)

3.平面向量共线的坐标表示(1)条件:a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.(2)结论:当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.

师生互动合作探究

探究点一平面向量的坐标表示√

①③

方法总结求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标.(2)求一个向量的坐标时,可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标.

探究点二平面向量的坐标运算[例2](1)已知向量a,b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标;解:(1)a+b=(-1,2)+(3,-5)=(2,-3),a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-4,7),3a=3(-1,2)=(-3,6),2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)=(-2,4)+(9,-15)=(7,-11).

方法总结平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.(2)若已知有向线段两端点的坐标,则必须先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行.

(1)求3a+b-3c;解:由题意得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;

探究点三向量共线的坐标表示[例3](1)下列各组向量中,共线的是()A.a=(-2,3),b=(4,6)B.a=(2,3),b=(3,2)C.a=(1,-2),b=(7,14)D.a=(-3,2),b=(6,-4)√

解析:(1)A选项,(-2)×6-3×4=-24≠0,所以a与b不平行;B选项,2×2-3×3=4-9=-5≠0,所以a与b不平行;C选项,1×14-(-2)×7=28≠0,所以a与b不平行;D选项,(-3)×(-4)-2×6=12-12=0,所以a∥b.故选D.

(2)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ),若a∥b,则λ=.?-3解析:(2)由题意知-6=2λ,所以λ=-3.

方法总结(1)向量共线的判定方法①利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.②利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.(2)三点共线的实质与证明步骤①实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的.②证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成,即一是证明向量平行,二是证明两个向量有公共点.

[针对训练](1)下列各组向量中,能作为平面内所有向量基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)√

(2)已知非零向量a=(m2-1,m+1)与向量b=(1,-2)平行,则实数m的值为()√

「当堂检测」1.已知向量a=(1,2),b∥a,那么向量b可以是()A.(-1,-2) B.(-1,2)