2024_2025学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数学案新人教A版选修2_2.docVIP

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函数的最大(小)值与导数

导思

1.最值与导数有什么关系？

2．如何利用导数求连续函数的最值？

1.函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件

假如在闭区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条连绵不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

【思索】

(1)在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值肯定有最值，反之成立吗？

提示：反之不成立，在闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)有极值肯定有最值，但有最值不肯定有极值．

(2)函数的极值与最值有什么区分？

提示：①函数的极值是函数在某一点旁边的局部概念，函数的最值是函数在给定区间的整体概念．②函数极值只能在区间内部取得，函数最值可能在区间端点取得．

2．求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

(2)求函数y＝f(x)在[a，b]端点的函数值f(a)，f(b).

(3)比较各极值以及f(a)，f(b)的值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

【思索】

函数的最值肯定在区间端点处取得吗？

提示：不肯定，当函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上是单调函数时，函数最值在区间端点取得，否则，函数最值不肯定在区间端点取得．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，微小值便是最小值．(×)

提示：(1).函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值不肯定是最大值，微小值不肯定是最小值．

(2)闭区间上的连续函数肯定有最值，也肯定有极值．(×)

提示：(2)闭区间上的连续的单调函数只有最值，没有极值.

(3)若函数在其定义域上有最值，则肯定有极值；反之，若有极值，则肯定有最值．(×)

提示：(3)若函数在其定义域上有最值，则不肯定有极值；反之，若有极值，则肯定有最值.

(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值.(√)

提示：(4)若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值，一个最小值，但若有极值，则可有多个极值.

2．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为()

A.－37B．－29C．－5D．－11

【解析】选A.因为f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，由f′(x)＝0得x＝0或2.

又f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m，明显f(0)f(2)f(－2)，

所以m＝3，最小值为f(－2)＝－37.

3．(教材二次开发：练习改编)若函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2定义在[－1，1]上，则函数的最小值是________；最大值是________．

【解析】由题得f′(x)＝x2－2x，

令f′(x)＝x2－2x＝0得x＝2(舍去)或0，

因为f(－1)＝－eq\f(4,3)，f(0)＝0，f(1)＝－eq\f(2,3)，

所以函数的最小值是－eq\f(4,3)，最大值为0.

答案：－eq\f(4,3)0

类型一求函数的最值(数学运算)

【典例】函数f(x)＝x3－3x＋1在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是()

A．1，－1B．1，－17

C.3，－17D．9，－19

【思路导引】求导，求极值，求区间端点的函数值，通过比较求函数的最值．

【解析】选C.因为f(x)＝x3－3x＋1，所以f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1).令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，所以函数f(x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，且f(－3)＝－17，f(0)＝1，f(－1)＝3，所以f(x)在区间[－3，0]上的最大值为3，最小值为－17.

求函数最值的四个步骤

第一步，求函数f(x)的定义域．

其次步，求f′(x)，解方程f′(x)＝0.

第三步，列出关于x，f(x)，f′(x)的改变表．

第四步，求极值、端点值，确定最值．

警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．

1．函数f(x)＝lnx－x在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，e))上的最大值为()

A.－1B．1－e

C.－eD．0

【解析】选A.f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)0，得0x1，令f′(x)0，得1x≤e，所