几何问题课件人教版九年级数学上册.pptx

21.3.3几何问题;展示生活中与一元二次方程相关的实际问题情境，如：

一个面积为120平方米的矩形花园，长比宽多2米，求花园的长和宽。设宽为x米，则长为(x+2)米，可列方程x(x+2)=120。

某种药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率。设每次降价的百分率为x，则可列方程56(1-x)2=31.5。

引导学生观察列出的方程，与之前学过的一元一次方程进行对比，发现这些方程的特点，从而引出本节课要学习的一元二次方程的内容，让学生感受到一元二次方程在解决实际问题中的广泛应用。

（二）知识讲解（30分钟）

一元二次方程的概念

给出几个不同形式的方程，如x2-3x+2=0，2x2+5x=0，3(x-1)2=27等，让学生观察方程的结构特征。

总结一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。强调“整式方程”这一条件，举例说明如1/x2+x-1=0不是一元二次方程，因为它不是整式方程。

讲解一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。让学生指出前面给出方程的各项系数，注意当系数为1或-1时，“1”常省略不写，但在确定系数时要写出。

一元二次方程的解法

直接开平方法：以方程x2=9为例，讲解直接开平方法的原理和步骤。因为x是9的平方根，所以x=±3。推广到一般形式，对于方程(x-m)2=n（n≥0），可以直接开平方得到x-m=±√n，进而解得x=m±√n。通过练习如(x-2)2=16，让学生掌握直接开平方法。

配方法：

以x2+6x-7=0为例，引导学生思考如何将方程左边配成完全平方式。首先在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x2+6x+9-9-7=0，变形为(x+3)2-16=0，再利用直接开平方法求解。

总结配方法的步骤：移项（把常数项移到方程右边）、配方（在方程两边加上一次项系数一半的平方）、变形（将方程左边配成完全平方式）、开平方、求解。通过练习如x2-4x-5=0，让学生巩固配方法。强调配方时加上的数是一次项系数一半的平方，且方程两边都要加。

公式法：

对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），通过配方法推导求根公式。

\(

\begin{align*}

ax?2+bx+c=0\\

ax?2+bx=-c\\

x?2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\\

x?2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})?2=(\frac{b}{2a})?2-\frac{c}{a}\\

(x+\frac{b}{2a})?2=\frac{b?2-4ac}{4a?2}

\end{align*}

\)

当b2-4ac≥0时，x+\frac{b}{2a}=±\frac{\sqrt{b2-4ac}}{2a}，得到求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}。

讲解利用公式法解方程的步骤：先确定a、b、c的值，计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程根的情况，当Δ≥0时，代入求根公式求解。通过练习如2x2-5x+2=0，让学生熟练运用公式法。

因式分解法：以方程x2-3x=0为例，方程左边可因式分解为x(x-3)=0，根据“若两个因式的积为0，则至少有一个因式为0”，得到x=0或x-3=0，从而解得x?=0，x?=3。总结因式分解法的步骤：将方程右边化为0，把方程左边因式分解，令每个因式为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。通过练习如(x-1)(x+2)=6，先将方程化为一般形式x2+x-8=0，再尝试因式分解（若不能分解则考虑其他解法），让学生掌握因式分解法。

一元二次方程根的判别式

回顾公式法中求根公式x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}，引出根的判别式Δ=b2-4ac。

分析当Δ0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程没有实数