人教版中考数学大一轮素养高分培优重庆专用：第7章 微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题.ppt

微专题利用“将军饮马”解决线段最值问题(10年A卷2考,B卷3考,均在二次函数综合题中涉及考查)模型一“一线两点”型（一个动点＋两个定点）类型一：异侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使PA＋PB的值最小．【解决思路】根据两点之间线段最短,PA＋PB的最小值即为线段AB的长．连接AB交直线l于点P,点P即为所求．针对训练1．如图,等边△ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是AD边上的动点,E是AB边上一点,且AE＝2,则线段EF＋CF的最小值为__________．第1题图类型二：同侧线段和最小值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得PA＋PB的值最小．【解决思路】将两定点同侧转化为异侧问题,同类型一即可解决．作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,点P即为所求．也可作点A关于l的对称点A′,连接BA′.针对训练2．如图,Rt△ABC中,AC＝BC＝4,点D,E分别是AB,AC的中点,在CD上找一点P,使PA＋PE最小,则这个最小值为________．第2题图3．如图,抛物线的顶点D的坐标为(－1,4),抛物线与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C(0,3)．若点E的坐标为(0,－3),点F是抛物线对称轴一点,当△CEF的周长最小时,求点F的坐标．第3题图解：设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋4,把x＝0,y＝3代入得：3＝a(0＋1)2＋4,解得a＝－1,∴抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.如解图,作点C关于对称轴的对称点C′,连接EC′交对称轴于点F′,连接CF′,C′F,EF,∵C′F＋EF≥C′F′＋EF′＝C′E,当点F与F′重合时,CF＋EF的值最小,∵CE为定值,则此时△CEF的周长最小．∵C(0,3),∴C′(－2,3),易得直线C′E的解析式为y＝－3x－3,当x＝－1时,y＝－3×(－1)－3＝0,∴F(－1,0)．第3题解图类型三：同侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使得的值最大．【解决思路】根据三角形任意两边之差小于第三边,≤AB,当A,B,P三点共线时,等号成立,即的最大值为线段AB的长．连接AB并延长,与直线l的交点即为点P.针对训练4．如图,在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝4,连接AC,O是AC的中点,M是AD上一点,且MD＝1,P是BC上一动点,则PM－PO的最大值为________．第4题图类型四：异侧差最大值问题【问题】两定点A、B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使得的值最大．【解决思路】将异侧点转化为同侧,同类型三即可解决．针对训练5．如图,已知△ABC为等腰直角三角形,AC＝BC＝4,∠BCD＝15°,P为CD上的动点,则的最大值为__________．第5题图4模型二“一点两线”型(两个动点＋一个定点)【问题】点P是∠AOB的内部一定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得△PMN周长最小．【解决思路】要使△PMN周长最小,即PM＋PN＋MN值最小．根据两点之间线段最短,将三条线段转化到同一直线上即可．针对训练6．如图,∠AOB＝30°,点M、N分别是射线OA、OB上的动点,OP平分∠AOB,且OP＝6,则△PMN周长的最小值为________．第6题图第7题图7．如图,已知点C(1,0),直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A、B两点,D、E分别是AB,OA上的动点,当△CDE的周长最小时,点D的坐标为________．6模型三“两点两线”型(两个动点＋两个定点)【问题】点P、Q是∠AOB的内部两定点,在OA上找点M,在OB上找点N,使得四边形PQNM的周长最小．【解决思路】要使四边形PQNM周长最小,PQ为定值,即求PM＋MN＋NQ的最小值即可,需将线段PM,MN,NQ三条线段尽可能转化在一条直线上,因此想到作点P关于OA的对称点,点Q关于OB的对称点．针对训练8．如图,在平面直角坐标系中,A(－3,－1),B(－1,－3),若D是x轴上一动点,C是y轴上的一个动点,则四边形ABCD周长的最小值是________．第8题图模型四“一定长＋两定点”型类型一：“造桥选址”问题问题：已知l1∥l2,l1,l2之间距离为d,在l1,l2上分别找M、N两点,使得MN⊥l1,且AM＋MN＋NB最小．【解决思路】要求AM＋MN＋NB的最小值,MN为定值,而点M,N分别是定线段M,N的两端点,故考虑平移点,构造平行四边形将AM,NB转化在