求异面直线距离的几种方法.pdf

求异面直线距离的几种方法

求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，

难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将

所求的问题进行转化.为此，下面举例向大家介绍几种

求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这部分知

识会有一定的帮助.

一、平移法

解题思路若能找到一条直线c，使c与异面直线a

和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设

法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，

则c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.

然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段

的长.

例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，

求AC和A1D间的距离.

解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥

A1D、BD1⊥AC.

设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1

平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.

设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平

精品文档交流

移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.

由平面几何知识，有AQQN=21，则AQAN=23，

而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，

PQ=33a.

故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以

求出BD与B1C的距离也为33a.（请同学们完成）

二、线面垂直法

解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且

a⊥α于O，过O在α内作OP⊥b于P，则OP的长为

异面直线a、b间的距离.

例2如图2，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其

棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.

解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥

平面A1CC1于O1.

过O1做O1E⊥A1C于E，则O1E是异面直线

B1D1与A1C的距离.

∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，

∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1

与A1C的距离为66a.

三、面面平行法

解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作

平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b

精品文档交流

的距离.

例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、

F分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.

解析如图3，G为AA1的中点.

∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平

面EFG.

∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面

A1B1D.

同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D

与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与

BD1的距离.

故异面直线EF与DB1的距离为：

MN=14AD1=24a.

四、转化法

解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到

平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面

的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的

一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，

则异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转

化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转

化思想，是求异面直线间距离的常用方法.

例4如图4，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其

精品文档交流

棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1

的中心，求异面直线AM和DN间的距离.

解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得

KC1与DN一定相交在一个平面内，从而有AM∥平

面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到

平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1

之间的距离.

设所求的距离为d，运用体积法

VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△

A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△

A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.

五、公式法

解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用

方法外，