2025版新教材高中数学微专题3圆锥曲线中的探索性与开放性问题学案新人教A版选择性必修第一册.docxVIP

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微专题3圆锥曲线中的探究性与开放性问题

学习目标

1.驾驭圆锥曲线中的探究性问题的解题方法.

2.驾驭以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的开放性问题的解题方法.

自主检测·必备学问

夯实基础，自我检测

1.已知等边三角形ABF的顶点F是抛物线C1:y2=2px(p＞0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l

A.在C1开口内B.在C

C.在C1开口外D.与p

答案：B

2.如图所示，点F是抛物线y2=8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2=8x及圆x2+y

答案：(8,12)

解析：设A(xA,yA),B(xB,yB).易知抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，焦点F(2,0)，由抛物线的定义可得

3.已知点F是双曲线x24-y212=1

答案：|PF|+|PA|有最小值.

∵点F是双曲线x2

∴a=2，b=23，c=4，F(-4,0)

设该双曲线的右焦点为M，则M(4,0)，

由双曲线的定义可得|PF|-|PM|=4，

则|PF|=|PM|+4，所以|PF|+|PA|=4+|PM|+|PA|≥4+|AM|=4+(4-1

当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，

因此|PF|+|PA|有最小值9.

互动探究·关键实力

探究点一结论存在型问题

精讲精练

例（2024河北石家庄二中高二期中）在平面直角坐标系中，动点M与点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2,∠AMB=2θ

（1）求动点M的轨迹E的方程；

（2）是否存在直线l过点B与轨迹E交于P,Q两点，且以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

答案：（1）当θ≠0时，在△ABM中，由余弦定理得4=d

代入d1d2cos2θ=1，整理得d1+d2=2

又当点M为该椭圆的长轴的两个端点时，θ=0，也满意d1

所以动点M的轨迹E的方程是x2

（2）假设存在直线l满意题意，

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x-1)，

联立得y=k(x-1),x22

设P,Q两点的坐标依次为(

由根与系数的关系得x1

由以线段PQ为直径的圆过原点得，OP?OQ=0

又y1y2

所以2k2-2

当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时P(1,22)、Q(1,-22)，

综上所述，所求直线l存在，且直线l的方程为y=±2

解题感悟

存在性问题的求解策略：（1）当给出条件要推导出存在的结论时，先假设存在，推证满意条件的结论，若结论正确，则存在，若结论不正确，则不存在.（2）当给出结论要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.

迁移应用

设抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知定点M(m,0)(m＞0)，过M作直线与抛物线C交于A，B两点，试问：是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，恳求出这条直线；若不存在，请说明理由.

答案：（1）由已知条件得2p=8，∴抛物线C的方程为y2

（2）设过M的直线的方程为x=ty+m，代入y2=8x，得

设A(x1,y1

设线段AB的中点为T(xT,yT)，则yT

设存在直线x=x0满意条件，则|4t2+m-x0|=12

故当m=2时，存在直线x=-2满意条件；当m≠2且m＞0时，直线不存在.

探究点二条件探究型问题

精讲精练

例（2024河北沧州七校联盟高二期中）在①|PF|=x0+1；②y0=2

问题：已知抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F，点P(

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若直线l:x-y-2=0与抛物线C交于A，B两点，求△ABF的面积.

答案：（1）选①：由抛物线的性质可得|PF|=x0+p2，因为|PF|=x0

选②：因为y0=2x0=2

因为点P(x0,y0)在抛物线C上，所以y0

选③：因为PF⊥x轴，所以|PF|=p2+p2=p，又

（2）设A(x1,

联立得x-y-2=0,y2=4x,

则y1+y

所以|y

故|AB|=1+

又点F到直线l的距离d=|1-2|

所以△ABF的面积为12

解题感悟

这类问题并没有确定的条件，只是给出了一些相关命题，须要对这些条件猜想、尝试、探求，选一个合适的条件把题干补充完整再作答，具有极强的探究性.

迁移应用

（2024福建泉州高二质量检测）已知抛物线E:y2=2px(p＞0)的焦点为F，直线x=3被E

（1）求E的方程；

（2）若不过点F的