2024_2025学年新教材高中数学基础练9全称量词命题和存在量词命题的否定含解析新人教A版必修第一册.docVIP

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全称量词命题和存在量词命题的否定

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．命题“全部能被2整除的数都是偶数”的否定是()

A．全部不能被2整除的数都是偶数

B．全部能被2整除的数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的数是偶数

D．存在一个能被2整除的数不是偶数

【解析】选D.全称量词命题的否定为相应的存在量词命题，即将“全部”变为“存在”，并且将结论进行否定．

2．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”

A．?x∈R，?n∈N*，使得nx2

B．?x∈R，?n∈N*，使得nx2

C．?x∈R，?n∈N*，使得nx2

D．?x∈R，?n∈N*，使得nx2

【解析】选D.?的否定是?，?的否定是?，n≥x2的否定是nx2.

【补偿训练】

设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则p的否定为：____________．

【解析】命题p：?x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，其命题的否定应为存在量词命题．所以p的否定：?x∈A，2x?B.

答案：?x∈A，2x?B.

3．(2024·丽江高一检测)命题“对随意x∈R，都有x2≥0”的否定为()

A．对随意x∈R，都有x20

B．不存在x∈R，使得x20

C．存在x∈R，使得x2≥0

D．存在x∈R，使得x20

【解析】选D.全称量词命题的否定是存在量词命题．“对随意x∈R，都有x2≥0”的否定为“存在x∈R，使得x20”．

4．命题：“?x0，使2x(x－a)1”的否定是()

A．?x0，使2x(x－a)1

B．?x0，使2x(x－a)≤1

C．?x≤0，使2x(x－a)≤1

D．?x≤0，使2x(x－a)1

【解析】选B.命题的否定为?x0，使2x(x－a)≤1.

5．命题“存在实数x，使x1”的否定是()

A．对随意实数x，都有x1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对随意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

【解析】选C.“存在实数x，使x1”的否定是“对随意实数x，都有x≤1”．

6．已知命题p：?x0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是()

A．{a|a－1} B．{a|a≥1}

C．{a|a1} D．{a|a≤－1}

【解析】选B.因为p为假命题，

所以?p为真命题，即：?x0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．命题“?x∈R，eq\f(1,2x＋4)0”的否定是__________．

【解析】“?x∈R，eq\f(1,2x＋4)0”的否定是“?x∈R，eq\f(1,2x＋4)0或eq\f(1,2x＋4)＝0”，即?x∈R，eq\f(1,2x＋4)≤0.

答案：?x∈R，eq\f(1,2x＋4)≤0

8．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m0”是真命题，求m的取值范围．你认为，两位同学题中m的取值范围是否一样？________(填“是”“否”中的一种)

【解析】因为命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋m0”．

而命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“?x∈R，x2＋2x＋m0”为真命题．

所以两位同学题中m的取值范围是一样的．

答案：是

【补偿训练】

写出下列命题的否定，并推断真假：

(1)q：全部的正方形都是矩形．

(2)r：?x0∈R，xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋2x0＋2≤0.

(3)s：至少有一个实数x0，使xeq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(0))＋1＝0.

【解析】(1)q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．

(2)r：?x∈R，x2＋2x＋20，真命题，

因为?x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥10恒成立，所以r是真命题．

(3)s：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以s是假命题．

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．写出下列命题的否定并推断其真假．

(1)有的四边形没有外接圆．

(2)某些梯形的对角线相互平分．

(3)被8整除的数能被4整除．

【解析】(1)命题的否定：全部的四边形都有外接圆，是假命题．

(2)命题的否定：任一个梯形的对角线不相互平分，是真命题．

(3)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．

10．推断下列命题是全称量词命题