2025届高考数学一轮复习第3章3.3利用导数研究函数的极值最值核心考点精准研析训练含解析新人教B版.docVIP

PAGE

11-

第3章

核心考点·精准研析

考点一用导数解决函数的极值问题?

命

题

精

解

读

考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.

(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.

怎么考:与函数图象、方程、不等式、函数单调性等学问结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.

新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图象等学问交汇考查为主

学

霸

好

方

法

1.求函数f(x)极值的一般解题步骤

(1)确定函数的定义域;

(2)求导数f′(x);

(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的全部根;

(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.

2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领

(1)列式:依据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.

(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必需验证根的合理性.

由图象推断函数的极值

【典例】(2024·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则QUOTE=________.?

【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;

依据图象知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;

所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;

依据根与系数的关系得,QUOTE

所以2b=-3a,c=-6a,

所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=1.

答案:1

由函数f(x)的图象确定极值点的主要依据是什么?

提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.

求已知函数的极值

【典例】已知函数f(x)=x-1+QUOTE(a∈R,e为自然对数的底数). 世纪金榜导学号

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.

(2)求函数f(x)的极值.

【解析】(1)由f(x)=x-1+QUOTE,

得f′(x)=1-QUOTE.

又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,

所以f′(1)=0,即1-QUOTE=0,解得a=e.

(2)f′(x)=1-QUOTE,

当a≤0时,f′(x)0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.

当a0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna,

当x∈(-∞,lna)时,f′(x)0;

当x∈(lna,+∞)时,f′(x)0,

所以f(x)在(-∞,lna)上单调递减,

在(lna,+∞)上单调递增,故f(x)在x=lna处取得微小值且微小值为f(lna)=

lna,无极大值.

综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;

当a0时,f(x)在lna处得微小值lna,无极大值.

若函数f(x)在区间[a,b]内有极值,则极值点有可能是a或b吗?f(x)在(a,b)内可以是单调函数吗?

提示:若函数y=f(x)在区间[a,b]内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值,且极值点肯定不是a和b.

已知函数极值状况求参数值(范围)

【典例】设a∈R,若函数y=x+alnx在区间QUOTE上有极值点,则a的取值范围为 世纪金榜导学号()

A.QUOTE

B.QUOTE

C.QUOTE∪(e,+∞)

D.(-∞,-e)∪QUOTE

【解析】选B.因为函数y=f(x)=x+alnx在区间

QUOTE上有极值点,所以y′在区间QUOTE上有零点.

f′(x)=1+QUOTE=QUOTE(x0).

所以f′QUOTE·f′(e)0,

所以(ea+1)QUOTE0,

解得-ea-QUOTE,

所以a的取值范围为QUOTE.

已知函数极值求参数,常转化为什么问题?

提示:常转化为方程的根和函数零点的问题.

1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中肯定成立的是 ()

A.函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(1)

B.函数f(x)有极大值f(-2)和微小值f(1)

C.函数f(x)有极大值f(2)和微小值f(-2)

D.函数f(x)有极大值f(-2)和微小值f(2)

【解析】选D.由题图可知,当x-2时,1-x3,此时f′(x)0;当-2x1时,01-x3,此时f′(x)0;当1x2时,-11-x0,此时f′(x)0;当x2时,1-x-1,此时f′(x)0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得微小值.