三节三重积分专转本高数.pptx

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第三节三重积分

一三重积分的概念

二三重积分在直角坐标系下计算

三三重积分在柱坐标系下计算

四三重积分在球坐标系下计算

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一三重积分的概念

类似二重积分解决问题的思想,采用



引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不均匀

的物质,

求分布在内的物质

可得

“大化小,常代变,近似和,求极限”

解决方法:

的质量M.

密度函数为

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定义.

存在,

称为体积元素,

若对

任意取点

则称此极限为函数

在上的三重积分.

在直角坐标系下常写作

三重积分的性质与二重积分相似.

性质:

例如

中值定理.

在有界闭域上连续,

则存在

使得

V为的

体积,

下列“乘积和式”极限

记作

设

在有界闭区域

上有界，

作任意分割:

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二三重积分在直角坐标系下计算

设

如果将被积函数

看成

的体密度函数，

则对任意固定

相应的平行于

轴的

直线落在

部分的质量

从而

因此

的总质量为

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特别如果

先单后重

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同理如果

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其中为三个坐标

例1.计算三重积分

所围成的闭区域.

解:

面及平面

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例2

计算三重积分

其中

是由

曲面

围成的空间区域。

解

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例3

化三重积分

为直角坐标下

的三次积分。

1）

是由曲面

围成

解

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2）

由

围成的区域

解

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3）

是由

围成的区域。

解

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如果区域

落在平面

之间，

对任

意固定的

相应的平行于

面的平面截

所得的平面

区域为

则

先重后单

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例4计算三重积分

其中

围成的闭区域。

是由曲面

解

介于平面

之间，

对于

相应

的截面

为区域

方法1.“先单后重”(投影法)

小结:三重积分在直角坐标系下的计算方法

当然，还有其他的积分次序。

三次积分

方法2.“先重后单”(截面法)

三次积分

当然，还可以先将立体投影到其他坐标轴。

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三三重积分在柱坐标系下计算

就称为点M的柱坐标.

直角坐标与柱面坐标的关系:

坐标面分别为

圆柱面

半平面

平面

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如图所示,在柱面坐标系中体积元素为

因此

其中

适用范围:

1)积分域表面用柱面坐标表示时方程简单;

2)被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离.

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定限原则

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其中为由

例5计算三重积分

所围

解:在柱面坐标系下

及平面

柱面

成半圆柱体.

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例6计算三重积分

解:在柱面坐标系下

所围成.

抛物面

原式=

其中由

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例7计算三重积分

其中由

所围成.

解

介于

之间，

对于

相应于

的截面

在柱坐标可

表示为

方法1.“先单后重”(投影法)

小结:三重积分在柱坐标系下的计算方法

三次积分

方法2.“先重后单”(截面法)

当然，还可以先将立体投影到其他坐标轴。

三次积分

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四三重积分在球坐标系下计算

称

为点

球坐标。

球坐标与直角坐标之间的关系：

球坐标下坐标面

球面

半圆锥面

半平面

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如图，球坐标下体积元素为

适用范围:

1)积分域表面用球面坐标表示时方程简单;

2)被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.

其中

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例8计算三重积分

解:在球面坐标系下

所围立体.

其中

与球面

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例9将三重积分

化为球

坐标下的三次积分

1）

解

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2）

解

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3）

解

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例10设

计算

解

原式=

奇函数

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一般地，当积分区域

关于

平面对称，

是关于

的偶函数，

若被积函数

是关于

的奇函数，

且被积

函数

则三重积分为零，

在

平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍.

则三重积分

为

使用对称性时应注意：

说明

1积分区域关于坐标面的对称性；

２被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇

偶性

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例11设由曲面

和

所围成,计算

解

利用对称性

用球坐标