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2023-2024学年高二数学下学期阶段测试试题

（时间120分钟，共计150分）

第Ⅰ卷（选择题）

一、单选题（每小题5分，共计40分）

1.已知函数，则（）．

A. B.0 C.1 D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据导数的定义及导数的运算求解即可.

【详解】由题意，，故.

故选：D

2.已知某物体的运动方程是（的单位为），该物体在时的瞬时加速度是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题意依次求导代入即可得解.

【详解】由题意，，

所以.

故选：C.

3.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）

A.1 B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出平行于的直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．

【详解】设，函数的定义域为，求导得，

当曲线在点处的切线平行于直线时，，

则，而，解得，于是，

平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，

所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．

故选：D

4.若函数在点处的切线的斜率为1，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数的几何意义可得出，利用基本不等式可求得的最大值.

【详解】由已知，所以，

，得，所以，

当且仅当时等号成立．

故选:C．

5.已知函数的导函数为，且，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案.

【详解】因为，所以，令，则，．

故选：C

6.已知曲线与曲线在交点处有相同的切线，则（）

A.1 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数求出切线的斜率，从而可求解.

【详解】由题知曲线和曲线在交点处有相同切线，即斜率相等，

所以对于曲线，求导得，所以在点处的切线斜率为，

对于曲线，求导得，

所以，得，故B正确.

故选：B.

7.某同学利用电脑软件将函数，的图象画在同一直角坐标系中，得到了如图所示的“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图象为（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数的定义域及函数值符号，分析函数在上的单调性及切线斜率的变化，即可得出合适的选项.

【详解】因为，，

所以函数的图象为“心形线”中轴及下方的部分．

由，得，可得，解得.

所以，函数的定义域为，且，

由题图可知函数在上单调递增，即当时，，故排除BC．

又函数在时的图象的切线斜率先减小后增大，故函数的值先减小后增大，

故只有A选项符合题意，

故选：A．

8.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的对称性以及复合函数求导运算，利用举反例的形式，逐一判断，可得答案.

【详解】由函数为偶函数，可得，则，所以函数关于成轴对称；

由函数为偶函数，可得，所以函数关于成轴对称；

对于A，设，，显然符合题意，但，故A错误；

对于B，因为为偶函数，故，

故，故（为常数），

令，则，故，

故的图象关于成中心对称，

由，且为函数图象的对称轴，则，

由，

则函数图象的对称轴为直线，

由，则，所以，故B正确；

对于C，设，令，解得，则的对称轴为；

，令，解得，则的对称中心为；

所以此时函数符合题意，，故C错误；

对于D，由选项C，符合题意，则，

，故D错误.

故选：B

二、多选题（每小题6分，共计18分）

9.下列选项正确的是（）

A.，则

B.，则

C.，则

D.，则

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本初等函数求导法则和复合函数求导法则得到答案.

【详解】A选项，，A错误；

B选项，，则，B正确；

C选项，，C正确；

D选项，令，D正确．

故选：BCD．

10.一做直线运动的物体，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系是．则下列正确的是（）

A.此物体的初速度是

B.此物体在时的瞬时速度大小为，方向与初速度相反

C.到时平均速度

D.时的瞬时速度为

【答案】ABC

【解析】

【分析】ABD选项，对求导后，代入相应值，判断正误；C选项，根据平均速度计算公式进行求解.

【详解】A选项，，故当时，，即此物体的初速度是，A正确；

B选项，当时，，此物体在时的瞬时速度大小为，方向与初速度相反，B正确；

C选项，，到时平均速度，故到时平均速度，C正确；

D选项，时，，故时的瞬时速度为，D错误.

故选：ABC

11.若直线是曲线与曲线的公切线，则（）

A. B.

C. D.

【答案】BD

【解析】

【分析】借助导数的几何意义计算即可得.

【详解】令，则，

令，有，则，

即有