2022年九年级相似三角形知识点总结及例题讲解.docxVIP

相似三角形基本知识

知识点一：放缩与相似

1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相似的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：(1)相似图形强调图形形状相似，与它们的位置、颜色、大小无关。

(2)相似图形不仅仅指平面图形，也涉及立体图形相似的状况。

(3)我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一种图形可以看作是由另一种图形放大或缩小得到的.

(4)若两个图形形状与大小都相似，这时是相似图形的一种特例——全等形.

3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的相应角相等，相应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，她们的相应边的长度的比值是1.

知识点二：比例线段有关概念及性质

(1)有关概念

1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:b=

m:n(!

)

2、比的前项，比的后项：两条线段的比a:b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。阐明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如

4、比例外项：在比例(或a:b=c:d)中a、d叫做比例外项。

5、比例内项：在比例(或a:b=c:d)中b、c叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例(或a:b=c:d)中，d叫a、b、c的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例(或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的

比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，

即

(或a:b=c:d),

那么,这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。(注意：在求线段比时，

线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位)

(2)比例性质

1.基本性质：(两外项的积等于两内项积)2.反比性质：(把比的前项、后项互换)

3.更比性质(互换比例的内项或外项):

4.合比性质：

(分子加(减)分母，分母不变)

注意：事实上，比例的合比性质可扩展为：比例式中档号左右两个比的前项，后项之间

发生同样和差变化比例仍成立.如：

5.等比性质：(分子分母分别相加，比值不变.)

如),那么

注意：(1)此性质的证明运用了“设k法”,这种措施是有关比例计算，变形中一种常用措施.

(2)应用等比性质时，要考虑到分母与否为零.

(3)可运用分式性质将连等式的每一种比的前项与后项同步乘以一种数，再运用等比性质也成立

知识点三：黄金分割

1)定义：在线段AB上，点C把线段AB提成两条线段AC和BC(ACBC),

如果

,即

AC2=AB×BC,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比

叫做黄金比。其中

2)黄金分割的几何作图：已知：线段AB.求作：点C使C是线段AB的黄金分割点.

作法：①过点B作BD⊥AB,使

②连结AD,在DA上截取DE=DB;

③在AB上截取AC=AE,则点C就是所求作的线段AB的黄金分割点.黄金分割的比值为：

.(只规定记住)

.

3)矩形中，如果宽与长的比是黄金比，这个矩形叫做黄金矩形。

知识点四：平行线分线段成比例定理

(一)平行线分线段成比例定理

1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的相应线段成比.

例.已知l?//l?//l?,

l?

l?

1一 等.可得

1一

2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的相应线段成比例.

由DE//BC可得：或或.此推论较原定理应用更加广泛，条件是平

行.

3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的相应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.(即运用比例式证平行线)

4.定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边相应成比例.

5.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在一条直线上截得的线段相等，难么在另一条直线上截得的线段也相等。

★三角形一边的平行线性质定理

定理：平行于三角形一边的直线截其她两边所得的线段相应成比例。几何语言∵△ABE中BD//CE

∴

记：

归纳：和

推广：类似地还可以得到

★三角形一边的平