2024_2025学年高中数学第一章计数原理习题课_二项式定理的应用课后篇巩固提升北师大版选修2_3.docxVIP

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习题课——二项式定理的应用

课后篇巩固提升

A组

1.(a+b)n二项绽开式中与第r-1项系数相等的项是()

A.第(n-r)项

B.第(n-r+1)项

C.第(n-r+2)项

D.第(n-r+3)项

解析:因为第(r-1)项的系数为,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.

答案:D

2.使(n∈N+)的绽开式中含有常数项的最小的n为()

A.4 B.5

C.6 D.7

解析:由二项式的通项公式得Tr+1=3n-r,若绽开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所以n最小值为5.

答案:B

3.设函数f(x)=则当x0时,f[f(x)]表达式的绽开式中常数项为()

A.-20 B.20

C.-15 D.15

解析:当x0时,f(x)=-0,则f[f(x)]=.Tr+1=)6-r·=(-1)r=(-1)rx3-r.令3-r=0,得r=3,此时T4=(-1)3=-20.

答案:A

4.已知2×1010+a(0≤a11)能被11整除,则实数a的值为.?

解析:依据题意,由于2×1010+a=2×(11-1)10+a,由于2×1010+a(0≤a11)能被11整除,依据二项式定理绽开式可知,2×(11-1)10被11除的余数为2,从而可知2+a能被11整除,可知a=9.

答案:9

5.若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于.?

解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)4×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10.

答案:10

6.在(3x-2y)20的绽开式中,系数肯定值最大的项为.?

解析:设系数肯定值最大的项是第r+1项,则

所以r,所以r=8.

所以当r=8时,系数肯定值最大的项为T9=·312·28·x12·y8.

答案:T9=·312·28·x12·y8

7.已知(+3x2)n的绽开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32.

(1)求绽开式中二项式系数最大的项;

(2)求绽开式中系数最大的项.

解:令x=1,

则绽开式中各项系数和为(1+3)n=22n.

又绽开式中二项式系数和为2n,

∴=2n=32,n=5.

(1)∵n=5,绽开式共6项,

∴二项式系数最大的项为第三、四两项,

∴T3=)3(3x2)2=90x6,

T4=)2(3x2)3=270.

(2)设绽开式中第k+1项的系数最大,

则由Tk+1=)5-k(3x2)k=3k,

得

∴≤k≤,

∴k=4,

即绽开式中系数最大的项为T5=)(3x2)4=405.

8.求证:3n(n+2)·(n∈N+,n2).

证明因为n∈N+,且n2,

所以3n=(2+1)n绽开后至少有4项.

(2+1)n=2n+·2n-1+…+·2+1≥2n+n·2n-1+2n+12n+n·2n-1=(n+2)·2n-1,

故3n(n+2)·2n-1(n∈N+,n2).

9.求证:1+2+22+…+(n∈N+)能被31整除.

证明∵1+2+22+…+

=-1=32n-1

=(31+1)n-1

=·31n+·31n-1+…+·31+-1

=31(·31n-1+·31n-2+…+),

明显·31n-1+·31n-2+…+为整数,

∴原式能被31整除.

B组

1.若(x+y)9按x的降幂排列的绽开式中,其次项不大于第三项,且x+y=1,xy0,则x的取值范围是()

A.

B.

C.

D.(1,+∞)

解析:二项式(x+y)9的绽开式的通项是

Tr+1=·x9-r·yr.

依题意,有

由此得

解之,得x1,即x的取值范围为(1,+∞).

答案:D

2.20152015除以8的余数为()

A.1 B.3

C.5 D.7

解析:20152015=(2016-1)2015=20162015+20162014(-1)1+…+(-1)2015,倒数两项和为2015×2016-1,其除以8的余数为7,因此20152015除以8的余数是7.

答案:D

3.x8=a0+a1(x-1)+…+a8(x-1)8,则a7=.?

解析:x8=[1+(x-1)]8=(x-1)+…+(x-1)7+(x-1)8,∴a7==8.

答案:8

4.(2x-1)10绽开式中x的奇次幂项的系数之和为.?

解析:因为(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,

令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=1,

再令x=-1,得310=a0-a1+a2-a3+…+a10,

两式相减