2024-2025学年试题数学三十直线与平面平行的性质定理.docx

三十直线与平面平行的性质定理

(时间:45分钟分值:85分)

【基础全面练】

1.(5分)若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c…,那么这些交线的位置关系为()

A.都平行

B.都相交且一定交于同一点

C.都相交但不一定交于同一点

D.都平行或交于同一点

【解析】选A.因为直线l∥平面α,所以根据直线与平面平行的性质知l∥a,l∥b,

l∥c,…,所以a∥b∥c∥….

2.(5分)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()

A.异面 B.平行

C.相交 D.以上均有可能

【解析】选B.在三棱柱ABCA1B1C1中,AB∥A1B1,

因为AB?平面ABC,A1B1?平面ABC,

所以A1B1∥平面ABC,因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE,

所以DE∥A1B1,所以DE∥AB.

3.(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为()

A.12 B.1 C.2 D.

【解析】选C.因为EF∥平面AB1C,EF?平面ABCD,平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC.又因为点E为AD的中点,点F在CD上,

所以点F是CD的中点,所以EF=12AC=2

4.(5分)(多选)下列说法中正确的是()

A.一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行

B.一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点

C.过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行

D.如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内

【解析】选ABD.根据线面平行的性质定理可知:直线与平面内的无数条直线平行,A正确.

根据线面平行的定义,直线与平面平行,则直线与平面内的任何直线无公共点,B正确.

C中可以作无数个平面与直线平行,错误.

根据直线l与平面α内一定点可以确定一个平面β,则平面α与平面β的交线与直线l平行,且在平面α内,D正确.

5.(5分)(多选)如图,在四棱锥PABCD中,M,N分别是AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则()

A.MN∥PD B.MN∥平面PAB

C.MN∥AD D.MN∥PA

【解析】选BD.因为MN∥平面PAD,MN?平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以MN∥PA,因为PA?平面PAB,MN?平面PAB,因此,MN∥平面PAB.

6.(5分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与A1C1的位置关系是________.?

【解析】如图,易知AC∥平面A1B1C1D1.

又因为平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l,所以AC∥l,又因为AC∥A1C1,所以l∥A1C1.

答案:平行

7.(5分)如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=a3,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=__________

【解析】因为MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,所以MN∥PQ.因为

MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC.因为AP=a3,所以DP=DQ=2a3.所以PQ=2×2

答案:22

8.(5分)如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧棱CC1上运动,当点P________时,A1P∥平面BCD.?

【解析】如图,假设A1P∥平面BCD.

因为A1P?平面AA1C1C,

平面AA1C1C∩平面BDC=DC,所以A1P∥CD.

又因为D为AA1的中点,所以P为CC1的中点.

答案:是CC1的中点

9.(10分)求证:若两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行直线平行.

【证明】已知:a∥b,a?α,b?β,α∩β=l.

求证:a∥b∥l.

如图所示,因为a∥b,b?β,a?β,所以a∥β,

又因为a?α,α∩β=l,

所以a∥l,

又因为a∥b,所以a∥b∥l.

【综合应用练】

10.(5分)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a?β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是()

A.平行 B.相交

C.异面 D.平行或异面

【解析】选C.条件即为线面平行的性质定理,所以a∥b,又a与α无公共点,所以α内与b相交的直线与a异面.

11.(5分)(多选)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的有(